Частотные характеристики замкнутой САР.

 

Наибольшее распространение при анализе замкнутых САР имеет АФЧХ замкнутой САР по управляющему воздействию Þ

 

Ф(iw) = Ф(s)_{s = iw} = , (5.3.1)

 

где W(i w) = .

Учитывая, что W(iw) = u(w) + i × u(w) - комплексное число, по аналогии имеем:

 

Ф (iw) = P (w) + i × Q (w), (5.3.2)

 

где P(w) = Re[ Ф(iw) ] и Q(w) = Im[Ф(iw)].

 

P (w) Q (w)

 

 

 

На этих рисунках представлен «примерный» вид зависимостей P (w)и Q(w) для «какой-то» замкнутой САР Þ причем

P(w) - четная функция, т.е. P(w) = P(-w); Q(w) - нечетная функция, т.е. Q(w) = -Q(-w).

Если известны частотные свойства разомкнутой САР, то можно определить частотные свойства замкнутой САР Þ воспользуемся показательной формой для АФЧХ Þ

W (iw) = А (w)× е ^{i j(w)},

где А(w) - амплитуда (модуль) и j(w) – сдвиг фазы (фаза).

Подставляя это в (5.3.1), имеем

Ф(iw) = А_замк(w) × е ^{I j3(w)} = Þ

 

, (5.3.3)

 

учитывая, что е ^{– ij} = cos(j) - i×sin(j) Þ

 

. (5.3.4)

 

Приравнивая чисто вещественные и чисто мнимые части, имеем Þ

 

(1) (5.3.5)

(2).

 

Задачей преобразований является Þ найти:

А₃(j) = f₁[ A(w), j(w) ]; j₃(w) = f₂[ A(w), j(w) ] Þ

Разделив (2) на (1) Þ tgj₃(w) = Þ

 

j_{3амкнутой}(w) = arctg , (5.3.6 )

 

где j – определяется из графика Ф(iw).

Процедура получения выражения для А₃(w) – сложнее Þ возведем оба уравнения системы (5.3.5) в квадрат Þ

 

 

;

;

Þ складывая эти уравнения Þ

 

Þ

 

А₃(w) = ; (5.3.7)

 

 

Аналогичным образом можно выразить, например, P(w) и Q(w) - характеристики замкнутой САР через u(w) и u(w) - характеристики разомкнутой САР Þ существуют номограммы Солодовникова, Никольса для определения частотных свойств замкнутой САР Þ они называются диаграммами замыкания, но в настоящее время благодаря достижениям вычислительной техники – компьютеров, эти диаграммы практически полностью потеряли свою актуальность.

 

6. Устойчивость линейных и линеаризованных систем автоматического регулирования (управления).

 

6.1. Понятие об устойчивости САР. Теоремы Ляпунова.

 

В теории «Управления техническими системами» общепринято понятие качество управления, состоящее из трех основных составляющих:

- устойчивость САР (или запасы устойчивости);

- точность САР;

- качество переходного процесса.

Необходимо заметить, что если не обеспечена устойчивость замкнутой САР, то говорить о точности и, тем более, о качестве переходного процесса - бессмысленно.

Поэтому понятие «устойчивость» - важнейшее понятие для САР.

Приведем «механическую» аналогию понятия «устойчивость» Þ

 

 

 

 

1. 2. 3.

абсолютно неустойчивое нейтральное

устойчивое положение (безразличное)

положение

В положении 1 при отклонении шарика от нижнего положения он обязательно вернется в свое устойчивое положение (низ «воронки»).

В положении 2 малейшее отклонение шара от состояния равновесия приведет к «скатыванию» его вниз; т.е. шар не вернется сам назад на вершине «горки».

В положении 3 при воздействии на шар он начнет перемещаться в горизонтальном направлении и, если нет трения, то шар будет двигаться с постоянной скоростью.

Если реальная замкнутая САР имеет свойства, аналогичные 1, то она «хорошая», если 2 – «совсем плохая». Þ Нужно так проектировать САР, чтобы ее свойства были похожи на 1, т.е. если какое-то возмущающее воздействие отклонит систему от равновесия, то система управления обязана вернуть техническую систему в состояние равновесия.

Рассмотрим техническую систему (САР), описываемую в переменных «вход-выход»

 

Þ (6.1.1)

 

- уравнение динамики замкнутой САР при управляющем воздействии.

Учитывая, что , рассмотрим составляющую Þ решая характеристическое уравнение:

 

(6.1.2)

 

Û Þ

находим l. Тогда Þ

Þ (6.1.3)

 

Þ возможно несколько вариантов в зависимости от значений .

 

 

Анализ вышеприведенных рисунков показывает, что система может вернуться в исходное состояние, если все составляющие при будут стремиться к нулю. Þ Поэтому условием устойчивости является Þ т.е. корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости Þ

Jm Причем ось ординат соответствует границам

l _j устойчивости (апериодической или колебательной).

 

Re

Таким образом, вопрос об устойчивости или неустойчивости замкнутой (и разомкнутой) САР определяется по расположению корней соответствующего характеристического уравнения:

 

(6.1.4)

 

 

Если все корни характеристического уравнения лежат (расположены) в левой полуплоскости – линейная (или линеаризованная) САР устойчива.

Необходимо заметить, что коэффициенты уравнения совпадают с коэффициентами многочлена (полинома) Þ следовательно Þ полюса замкнутой САР тождественно совпадают с корнями характеристического уравнения Þ , где - корни характеристического уравнения;

- полюса передаточной функции замкнутой САР.

Используя приблизительно такие же рассуждения (см. выше), Ляпуновым были сформулированы 3 теоремы об устойчивости линейных САР: Þ их «суть» Þ

1. Если все корни характеристического уравнения или полюса передаточной функции САР расположены в левой полуплоскости, то линеаризованная САР обязательно вернется в исходное состояние при снятии внешнего воздействия, выведшего эту САР из состояния равновесия. Þ Следовательно САР – устойчива.

2. Если хотя бы один полюс (или корень характеристического уравнения) передаточной функции САР расположен в правой полуплоскости (при всех остальных в левой полуплоскости), линейная (линеаризованная) САР никогда не вернется в исходное (равновесное) состояние при снятии внешнего воздействия, которое вывело данную САР из исходного состояния равновесия. Þ Следовательно САР – неустойчива.

3. Если хотя бы один из полюсов передаточной функции САР (корней характеристического уравнения) находится на мнимой оси (при всех остальных в левой полуплоскости) об устойчивости линеаризованной САР ничего сказать нельзя, т.к. учет нелинейных (отброшенных) членов в динамике САР может дать любой результат (устойчива или неустойчива).

Резюмируя вышесказанное, отметим, что:

Наиболее простым способом определения устойчива или неустойчива САР (как замкнутая, так и разомкнутая) является решение уравнения D(s) = 0 для замкнутой САР (или L(s) = 0 для разомкнутой САР) или решение характеристического уравнения D(l) = 0 или (L(l) = 0 – для разомкнутой САР).

Если САР задана в переменных состояния Þ

 

 

(6.1.5)

 

Þ вопрос об устойчивости САР определяется матрицей А – собственной матрицей.

Если собственные числа матрицы А лежат в левой полуплоскости – САР устойчива; если хотя бы одно собственное число лежит в правой полуплоскости – линейная САР неустойчива.

Собственные числа (согласно разделу «Линейная алгебра») находятся из уравнения:

 

(6.1.6)

 

где А – матрица размера ;

Е – единичная матрица.

 

Þ

Это означает, что уравнение принимает вид Þ

 

(6.1.7)

 

Þ решая, находим .

Фактически уравнения (6.1.6) и (6.1.7) – характеристические уравнения САР. Поэтому, если САР задана в переменных состояния, то характеристический полином D(s) при задании САР в переменных «вход-выход» может быть определен как

Чисто математически задача определения устойчивости сводится к решению степенного уравнения или к проблеме нахождения собственных чисел матрицы А.

6.2. Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР.

 

Наиболее просто необходимое условие устойчивости линейных (линеаризованных) САР формулируется для систем, записанных в переменных «вход-выход», причем оно применяется в одинаковой «редакции» как для замкнутых, так и для разомкнутых САР. Þ Это условие доказывается с использованием характеристического полинома D(s) – для замкнутых САР, или L(s) – для разомкнутых САР. Сделаем вывод на основании D(s) Þ

Разложим многочлен D(s) на элементарные линейные сомножители Þ:

 

 

(6.2.1),

где - полюса передаточной функции замкнутой САР.

Предположим, что , и что все полюса расположены в левой полуплоскости: Þ

Þ

 

Þ - действительный полюс;

- комплексно-сопряженные полюса.

Подставляя в первую скобку выражения (6.2.1) Þ получаем Þ );

Подставляя значение во вторую скобку (6.2.1) Þ .

Подставляя значение в третью скобку (6.2.1) Þ Þ перемножим эти три скобки Þ

= )×[ ]×[ ]=

Þ Þ т.е. все слагаемые положительны, т.е. Þ подставляя и в другие скобки Þ поскольку вещественная часть всех полюсов отрицательна Þ Þ, то в выражении (6.2.1) скобки будут принимать вид типа , или, если перемножить 2 скобки с комплексно-сопряженными полюсами, принимать вид типа Þ отсюда очевидно, что если раскрыть все скобки в (6.2.1), то, учитывая, что , получим полином D(s), у которого все коэффициенты положительны. Это результат и составляет суть необходимого условия: необходимым условием устойчивости линейных САР является положительность всех коэффициентов в полиноме D(s) - для замкнутых САР, или в L(s) – для разомкнутых САР.

Для систем 1-го и 2-го порядка необходимое условие является и достаточным.

Но для систем, имеющих порядок , выполнение необходимого условия невсегда является достаточным.

Тем не менее, необходимое условие «очень удобно», т.е. если хотя бы один коэффициент в D(s) отрицателен, то однозначно – САР неустойчива.

Если необходимое условие выполнено , то если необходимо либо вычислить корни характеристического уравнения (полюса передаточной функции), либо используя какой-либо из критериев устойчивости сделать соответствующий вывод об устойчивости САР.

 

6.3. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

 

Как отмечалось выше, устойчивость любой САР можно определить, вычислив значение всех полюсов (или корней соответствующего характеристического уравнения). Однако далеко не все способны без компьютера (калькулятора) решить степенное уравнение выше квадратного (кубическое и т.д.). Þ

Критерий Гурвица, являющийся частным случаем критерия Раусса, позволяет не решая уравнений типа D(s) = 0 или сделать вывод об устойчивости САР на основании «несложных» вычислений с использованием коэффициентов характеристического полинома Þ

Представим полином D(s) в измененном виде:

 

(6.3.1)

 

Дадим формулировку критерия Гурвица без доказательства: Þ

 

Определение: Для того, чтобы замкнутая САР (или разомкнутая) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все n главных определителей Гурвицевой матрицы Г.

 

необходимо, чтобы:

Г =

 

 

Если все (от до ) больше (строго) нуля, то линейная САР (или линеаризованная) устойчива.

Если , а коэффициент , то САР находится на апериодической границе устойчивости.

Если , а определитель при значении , то САР находится на колебательной границе устойчивости.

Достоинством критерия Гурвица – простота алгоритма. Главным недостатком – трудно использовать для систем, имеющих порядок выше 4 без соответствующих программных средств. Поэтому используют, если !!!

Пример1: определить, устойчива или нет следующая система САР:

 

 

x(t) y(t)

 

 

 

Замечаем, что разомкнута САР – устойчива, т.к. она 2-го порядка и все коэффициенты знаменателя – положительны.

Найдем главную передаточную функцию замкнутой САР: Þ

Þ

Þ Запишем Гурвицеву матрицу Þ

 

Þ САР устойчива.

Пример 2: Используя критерий Гурвица, выполнить анализ устойчивости следующей САР Þ

 

 

 

Разомкнутая САР Þ Þ находится на границе устойчивости, т.к. !!!

Замкнутая САР Þ

Þ

Запишем матрицу Гурвица Þ

 

Þ

 

1. совершенно очевидно, что Þ К

0

2. найдем условие колебательной границы устойчивости Þ

 

Þ !!! Þ - условие нахождения САР на колебательной границе устойчивости

3. найдем условие устойчивости САР Þ

 

0

Þ К

 

Полученный результат свидетельствует, что если , то для того, чтобы САР была устойчивой, необходимо, чтобы ;

Усложним задачу: предположим возможно варьировать (изменять) коэффициент усиления К и постоянную времени, например, Þ т.е.

область устойчивости

Т2

Þ

К

Система неравенств такая же, что и выше: Þ

Þ Þ Þ

T₂

K

 

6.4. Частотный критерий устойчивости Михайлова.

 

Советским ученым Михайловым в в 30-тых годах впервые был предложен оригинальный критерий оценки устойчивости САР, основанный на исследовании частотных свойств полинома при подстановке вместо , где !!!

 

(6.4.1)

 

Þ такая же форма записи, что и в критерии Гурвица.

Если , то подставляя в (6.4.1) Þ

 

 

Þ (6.4.2)

 

 

Þ (6.4.3)

 

Совершенно очевидно, что:

 

если Þ ;

 

если Þ

 

Формулировка: Þ Чтобы САР (замкнутая или разомкнутая) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы годограф D (i×w) при изменении w от нуля до ¥ переходил поочередно из квадранта в квадрант против часовой стрелки, совершив при этом поворот на угол .

n = 1

n = 2

i×D₂(w)

n = 3

w ₂

w ₃

 

 

Если САР – устойчива, то вектор совершает поворот на угол

 

Следствием частотного критерия Михайлова является перемежаемость (чередование) нулей полиномов и Þ в самом деле (см. рисунок), для кривой с Þ «» Þ

 

 

 

w ₂ w ₃ w ₄

 

w

w ₂ w ₃ w ₄

 

Þ Нули полиномов и - чередуются (перемежаются).

Если система находится на апериодической границе устойчивости (один нулевой полюс при всех остальных в левой полуплоскости), то годограф имеет следующий «примерный» вид:

iD₂(w)

годограф начинается из начала координат и поочередно «проходит» все квадранты в положительном направлении (начиная со 2-го квадранта).

 

Если система находится на колебательной границе устойчивости (2 чисто мнимых полюса при всех остальных в левой полуплоскости), то годограф имеет вид:

iD₂(w) Þ годограф D(iw) при некоторой частоте w = w_*

проходит через начало координат, «перескакивая» из

w = 0 2-го в 4-ый квадрант (минуя 3-ий). Частота w_* - частота

w = w_* незатухающих колебаний в такой САР.

Если САР неустойчива, годографы имеют вид:

 

 

Докажем ряд основных «моментов» в критерии Михайлова Þ

Во-первых, представим полином в виде произведения: Þ

 

(6.4.3)

 

где - полюса главной передаточной функции

Учитывая, что любое комплексное число типа можно представить в виде: , где А – модуль, - фаза Þ

 

(6.4.4)

 

где - модули выражений в скобках

- фаза (сдвиг фазы) выражений в скобках.

Естественно: Þ проанализируем изменение фазы (аргумента) скобок при изменении w от нуля до бесконечности Þ

Будем обозначать изменение фазы (аргумента) Þ

 

(6.4.5)

 

во-вторых, предположим, что САР - устойчива, т.е. все полюса лежат в левой полуплоскости Þ

Рассмотрим различные варианты полюсов, а именно: действительные, комплексные Þ

1-ый случай: Пусть Þ например, , где !!!

Рассмотрим поведение вектора при изменении от нуля до бесконечности Þ Þ

iIm

Очевидно, что Þ естественно, что при , при

w ₁

j

w ₀ Re

(6.4.6)

 

Т.е. при изменении от 0 до вектор, описывающий скобку повернется в положительном направлении на угол .

 

 

2-ой случай: Пусть , где

Рассмотрим скобку Þ

Þ Þ

iIm

w®¥

 

w ₄ очевидно Þ Þ

w 3 Þ очевидно, что при ;

Re

g₂ w ₁

w ₀

 

(6.4.8)

 

 

3-ий случай: Пусть ; (комплексно-сопряженный).

Рассмотрим скобку Þ Þ

iIm

w®¥

 

w ₂ очевидно Þ и т.д. Þ

w ₁ Þ очевидно, что при ;

w ₀

g₂ Re

 

(6.4.9)

 

Учитывая, что

Þ

Учитывая, что вещественный полюс дает (см. формулу 6.4.6), а комплексно-сопряженные полюса в сумме дают Þ

 

(6.4.9)

 

- если все полюса в левой полуплоскости, т.е. САР – устойчива.

Это означает, что при изменении частоты от нуля до бесконечности, годограф должен поочередно пройти все квадранты в положительном направлении, если САР – устойчива.

Предположим, что САР – неустойчива, т.е. ряд полюсов расположен в правой полуплоскости Þ

4-ый случай: Пусть Þ Рассмотрим Þ

 

очевидно: и т.д.

w ₁ очевидно, что

-a ₄

 

Þ Следовательно скобка дает вращение вектора в отрицательном направлении на угол Þ поэтому если первые три скобки «дают поворот» на , то четвертая скоба на Þ

Þ Þ каждый полюс расположенный в правой полуплоскости «дает недоповорот» вектора (при изменении w от 0 до ¥) на угол = p!!!

Рассмотрим два оставшихся случая Þ

Пусть Þ Þ

iIm

 

w®¥ Очевидно, что 0 <w ₁ < w ₂ < w ₃ и т.д.

w ₃ что w = 0 Þ j ₅ (0) = p + g ₅

w ₂ w ® ¥ Þ j ₅ (¥) ® 0.5×p

Re

w ₁

w ₀ -i×b ₅

 

 

(6.4.11)

 

6-ой случай: Пусть Þ

iIm

w ₂ w = 0 Þ j ₆ (0) = p - g ₅

w ₁ w ® ¥ Þ j ₆ (¥) ® 0.5×p Þ

 

w ₀

-a ₅ Re

 

(6.4.12)

 

Суммируя для 5-ой и 6-ой скобок Þ

Резюмируя вышеприведенное Þ

Если САР – устойчива (все полюса в левой полуплоскости), то

 

(6.4.13)

 

Если 1 полюс расположен в правой полуплоскости (при всех остальных в левой), то:

 

(6.4.14)

 

Если в правой полуплоскости расположено L полюсов, то:

 

(6.4.15)

 

Специально необходимо отметить еще один «предельный» случай Þ бесконечного полюса (корня) Þ

 

 

Область расположения корней (полюсов)

 

бесконечный

полюс

Þ Данный случай возникает, если Þ годограф в этом случае ведет себя Þ

iIm

 

Re

 

а ₀ < 0

 

а ₀ = 0 а ₀ > 0

Пример: Необходимо исследовать на устойчивость САР Þ используя критерий Михайлова

 

 

Þ Þ

 

 

0 w

0 1

Þ САР – неустойчива, т.к. нет чередования нулей D ₁ и D ₂