Некоторые способы нахождения оригинала по известному изображению

 

Используем формулы разложения в ряды на элементарные различные дроби. Наиболее общей является формула Хэвисайда для нахождения оригиналов следующего вида:

где D₀ и D₁ – некоторые полиномы по степеням «s». Например:

 

, тогда для нахождения оригинала $:

 

,

 

к_j – кратность полюсов Û - значение полюсов;

Корни уравнения из полинома D₀ – полюса (D₀)

Корни уравнения из полинома D₁ – нули (D₁).

Если все корни разные, к_j = 1; если корни кратные (i равных), то к_j = 2; если к_j = 1, то производной (!) нет.

Пример: предположим изображение некоторого неизвестного процесса

; ?

 

;

Найдем полюса:

Þ ; ;

Þ ; Þ

Þ ; Þ

Þ

f(t)

 

arctgA

 

t

Разложение на элементарные дроби.

Если корни уравнения различны, т.е. все разные Þ

 

(*)

 

где - корни уравнения; - остаточный член (не разлагается на элементарные действительные дроби);

Используя свойство линейности преобразований Лапласа, мы можем найти как сумму преобразований:

Если полюса совпадают, то формула (*) несколько изменится.

Пример: Имеем известное изображение:

- оригинал: при условиях

Разложение на элементарные дроби:

Þ

Используя метод неопределенных коэффициентов, приведем полученное выражение к общему знаменателю:

Вычтем из второго уравнения первое и получим: Þ

Þ

f(t)

 

(перегиб)

 

t

0 4

 

2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена).

 

 

x (t) САР (звено) y (t)

X (s)

Предположим, что уравнение динамики имеет вид:

где и - постоянные времени;

- коэффициент усиления.

Найдем изображения

Подставим полученные выражения в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

 

Т.к. начальные условия нулевые Þ

Если н.у. не нулевые Þ

При нулевых н.у.

Þ

Передаточной функцией САР (звена) называется отношение изображений выходного воздействия к входному при нулевых н.у.

- изображение выхода к изображению входа.

После того, как в явном виде найдено изображение для неизвестной выходной величины, нахождение оригинала не представляет сложностей. Либо по формуле Хэвисайда, либо разложением на элементарные дроби, либо по таблице из справочника.

Пример:

 

x (t) Звено y (t)

 

 

 

Предположим, что звено имеет уравнение динамики:

, н.у. нулевые:

ступенчатое воздействие.

- подставим все это в уравнение динамики Þ

- уравнение динамики в изображениях

y(t)

 

 

0.63k

t

T

 

2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).

 

Весовой функцией звена (системы) называется реакция системы при нулевых н.у. на единичное импульсное воздействие.

 

d (t) Звено y (t) = W (t)

 

 

Переходной функцией звена (системы) при н.у. называется реакция на единичное ступенчатое воздействие.

 

1 (t) y (t) = h (t)

Звено

 

 

Весовая функция

 

x(t) = d (t) y(t) º w(t) x(t)

W(s) пл = 1 w(t)

 

t

Переходная функция

h(t)

x(t) = 1(t) y(t) º h(t) x(t)

W(s) 1

 

t

Учитывая, что

 

d (t) w(t)

W(s)

X(s) = 1 Y(s) º W(s)

 

Передаточная функция играет роль изображения реакции звена или системы на единичное импульсное воздействие.

 

- обратное преобразование Лапласа

 

 

x(t) º 1(t) y(t) º h(t)

W(s)

X(s) = 1/s Y(s) º H(s)

 

H(s) – изображение h(t), т.е.

 

 

 

2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции.

x(t) y(t) =?

W(s)

X(s) Y(s) =?

 

На вход системы поступает произвольное воздействие x(t) (заранее известное).

Найти: если известны и

- связь между входным и выходным воздействиями.

где х – нелинейное действие.

Символически данное соотношение записывается:

где «*» - знак свертки.

Можно решить с помощью формулы Дюамеля-Карсона:

 

 

где t - вспомогательное время интегрирования.

Если < 0, то

 

,

Заменяя в формуле Дюамеля-Карсона верхний предел t на ¥, получим:

 

 

Существуют стандартные подпрограммы на ЭВМ для расчета свертки.

Найдем процесс по переходной функции:

 

x (t) y(t) =?

W(s)

X(s) Y(s) =?

 

Запишем в изображениях связь между входом и выходом:

;

 

 

,

 

- формула для определения Справедлива только при нулевых н.у., когда добавка равна нулю.

 

Mетод переменных состояния.

 

u ₁

W(s)

m CAP p

 

Система имеет много передаточных функций: количество ТХР. Поэтому для таких многомерных систем удобно другое математическое описание.

 

u₁(t) x ₁ (t) y₁(t)

u₂(t) x₂(t) y₂(t)

 

 

 

u_m(t) x_n(t) y_p(t)

 

Между «половинами» существуют внутренние переменные , для каждой из которых можно записать линейное ОДУ первой степени.

Обычно . В матричной форме эта система записывается в виде:

 

,

где - вектор столбец производных переменных состояния;

- вектор столбец переменных состояния;

- вектор выхода; - вектор входа (или вектор управления);

– собственная матрица системы ;

- постоянные коэффициенты;

– матрица входа ; - какие-то постоянные коэффициенты;

– матрица выхода ;

– матрица обхода или дополнительная матрица выхода ;

 

Собственная матрица системы однозначно определяет динамические свойства системы:

 

-

первая система представляет собой систему ОДУ в обыкновенной форме Коши, вторая часть - система уравнений, описывающих выход. ОДУ в форме Коши подразумевают наличие начальных условий.

В нашем случае почти всегда все элементы матрицы D будут нулевыми Þ D = 0.

Такое описание системы позволяет с одной стороны стандартным образом описывать стандартные системы, используя богатое программное обеспечение, с другой стороны для простых систем, описанных в переменных «вход-выход», переход к описанию в переменных состояния зачастую позволяет устранить технические трудности, связанные с решением ОДУ высокой степени.

Поэтому в дальнейшем мы и будем использовать подобное описание.

 

2.12. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния и обратно

 

Рассмотрим несколько вариантов перехода. Переход зависит от правой части:

 

2.12.1. Правая часть содержит только b₀ u(t)

Допустим, что:

Введем новую переменную х₁.

Первое уравнение системы:

.

 

; ; ; .

 

2.12.2. Правая часть общего вида

Сделаем преобразования: перейдем к уравнениям динамики в изображениях:

Начальные условия нулевые.

 

, (*)

 

где , - полиномы.

Разделим все уравнение (*) на полиномы :

- какая-то комплексная величина (отношение двух комплексных величин).

Можно считать: , - изображение какой-то переменной

Рассмотрим: и преобразуем: , где - какой-то дифференциальный оператор.

+ н.у. Þ получится задача Коши Þ

получим вектор переменных состояния Þ .

Найдем теперь регулируемую величину:

Рассмотрим: Þ

Перейдем к оригиналам:

 

Пример:

u(t) y(t)

W(s)

U(s) Y(s)

 

н.у. нулевые.

Необходимо свести задачу к нормальной форме Коши.

 

 

;

Разделим левую и правую части на Þ

Перейдем от изображений к оригиналам:

,

первое матричное уравнение:

- н.у.. Получаем задачу Коши для ОДУ. Þ

Þ - найдены.

Рассмотрим: ;

.

Получили второе уравнение матричной системы:

; ; .

Обратная задача

 

Цель: Имея описание системы в переменных состояния, перейти к описанию в переменных «вход-выход».

x₁

 

x₂

u y

x_n

 

 

 

 

u_m(t) y_p(t)

W_p,m(s)

 

 

- одно конкретное управляющее воздействие и соответствующая регулируемая величина.

 

Существует несколько алгоритмов, которые позволяют рассчитать передаточную функцию:

1. Алгоритм Фадеевой

2. - алгоритм

3. - алгоритм (крайне редко пользующийся).

,

индексы «3» - для 3-ей управляемой величины; «2» - по 2-му управляющему воздействию.

- одна и та же функция, меняющая только числитель.

Пример: Имеем:

 

Введем переменные: ;

 

 

u(t) W_1,1(s) y(t)º x₁(t)

 

 

x₁ y₁(t)

u(t)

x₂ y₂(t)

 

 

,

По определению , ,

Т.к. Þ

Используя преобразования Лапласа, получим:

Подставим соотношения в систему уравнений Þ

Система 2-х линейной алгебраический уравнений:

.

Система:

; - правило Крамера

 

Вспомогательные определители системы:

Более предпочтительно использование в знаменателе собственных чисел (см. далее).