Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности. Вывод передаточной функции, переходной и весовой функций.

 

Дадим краткое пояснение ряда терминов, используемых в заглавии данного подраздела:

1. «Точечный» Þ означает, что хотя реактор и представляет собой пространственный объект, тем не менее кинетика (изменение во времени) нейтронов может быть условно описана «материальной точкой», имеющей такие же свойства (в динамическом плане), что и реальный реактор Þ т.е. пространственные размеры (диаметр, высота) не учитываются.

Такое допущение вполне корректно для большинства реакторов: реакторы малой энергетики, лодочные (транспортные) реакторы и с некоторым допущением и большие реакторы (ВВЭР, PWR, BWR, HTGR и т.д.).

2. «Нулевой» Þ означает, что либо мощность (энерговыделение) реактора незначительна и поэтому ее изменение не влияет на нейтронно-физические характеристики, либо хотя мощность и немала, но внутренние обратные связи (обусловленные различными эффектами реактивности, например, мощностным, температурным, плотностным и т.д. эффектами) не учитываются.

3. «Кинетика» Þ практически тождественно слову «динамика», но в теории управления ядерными реакторами принято называть нестационарные режимы в балансе нейтронов в реакторе без обратных связей термином кинетика. Если учитываются обратные связи (внутренние и внешние), то тогда используется термин динамика ядерного реактора.

Прежде чем выводить уравнения кинетики нейтронов сделаем еще ряд допущений (к вышеописанным 1 и 2 допущениям):

¨ будем считать, что на кинетику влияют в основном тепловые нейтроны Þ т.е. одногрупповое приближение;

¨ будем считать, что запаздывающие нейтроны могут быть описаны 1-ой эффективной группой, хотя обычно запаздывающие нейтроны подразделяются на 6 групп со своими постоянными распада ядер-предшественников запаздывающих нейтронов.

 

 

осколок

запаздывающий нейтрон

₀ n ¹ ядро

мгновенные 2¸ 3 нейтрона

U ²³⁵

Осколок – запаздывающий ₀ n ¹

 

 

Из курса «ФЯР» известно, что доля мгновенных нейтронов, рождаемых от деления ядра, составляет > 99%, т.е. доля запаздывающих нейтронов составляет» 0.25¸0.7% от общего числа рожденных нейтронов.

Запаздывающие нейтроны вылетают из осколков через относительно большое время после деления ядра: обычно от сотых долей секунды до сотен секунд, в то время как мгновенные нейтроны через» 1 мсек (или еще быстрее, например, через 10¸100 мксек).

Из курса «ФЯР» известно следующее нестандартное уравнение баланса нейтронов в реакторе в одногрупповом (по энергии нейтронов) приближении:

 

 

(2.13.1)

 

 

где П_мгн = - порождение мгновенных нейтронов первичными нейтронами;

- порождение запаздывающих нейтронов за счет распада ядер-предшественников з.н;

- поглощение нейтронов;

- утечка нейтронов из реактора за счет диффузии, где D – коэффициент диффузии, - геометрический фактор (параметр).

- внешний источник нейтронов;

- порождение ядер – предшественников запаздывающих нейтронов;

- распад ядер – предшественников запаздывающих нейтронов.;

- плотность нейтронов, или ;

- поток нейтронов, или ;

v(t) – средняя скорость нейтрона в реакторе (в одногрупповом приближении).

C(t) – концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов, или .

После подстановки составляющих в систему (2.13.1) Þ

 

(2.13.2)

 

Необходимо подчеркнуть, что если К_эфф = 1, то доли:

- доля мгновенных нейтронов во втором поколении;

- доля запаздывающих нейтронов во втором поколении;

Опуская подробные выкладки, но тем не менее вводя новые обозначения:

- эффективный коэффициент размножения;

- реактивность (» 1);

- время жизни мгновенных нейтронов без учета утечки из реактора;

- время жизни мгновенных нейтронов с учетом утечки ( > ;

- квадрат длины диффузии нейтрона;

Примем для простоты, что внешнего источника нет Þ . Преобразим 1-е уравнение системы (2.13.2) Þ

Þ окончательно:

 

(2.13.3)

 

 

Выполняя аналогичные преобразования для 2-го уравнения системы (2.13.2), имеем:

Þ окончательно:

 

(2.13.4)

 

 

Объединяя уравнения (2.13.3) и (2.13.4) в систему, получаем систему уравнений кинетики нейтронов:

 

(2.13.5)

 

или

 

(2.13.6)

Учитывая, что » 1, то вместо «точной» системы (2.13.6) удобнее использовать «приближенную» систему (2.13.5).

Систему уравнений (2.13.5) - систему 2-го порядка – можно представить структурно так:

r(t) n(t)

реактор Þ

c(t)

Причем 2-е уравнение (2.13.5) – линейное, а 1-е – нелинейное, т.к. есть член ~ .

Найдем условия статики критичного реактора (стационарного состояния):

Если или К_эфф(0) = 1!!! Þ

Þ ,

где n₀ – равновесная плотность нейтронов; с₀ – равновесная концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов Þ

 

Þ (2.13.7)

 

Дальнейшие преобразования выполним со следующей целью:

1. Перейдем к безразмерным переменным;

2. Линеаризуем 1-е уравнение системы (2.13.5);

3. Получить передаточную функцию, описывающую кинетику нейтронов в переменных «вход-выход».

4. Получить систему уравнений в форме Коши.

Þ Введем новые безразмерные переменные:

Учитывая, что и в стационаре ,то переменную нет смысла обезразмеривать, т.к. она и так безразмерна.

Подставляя новые переменные и в 1-е уравнение системы (2.13.5), получаем:

(12.13.8)

 

- это система уравнений в форме Коши, т.е. в переменных состояния.

Таким образом получена линеаризованная система уравнений для безразмерных переменных и , описывающих кинетику нейтронов в реакторе.

Приведем описание кинетики нейтронов к стандартному виду в переменных «вход-выход» Þ

 

 

r(t)

Реактор Þ это можно сделать 2-мя

способами

 

1-ый способ:

Дифференцируя 1-е уравнение системы (2.13.8) Þ

Перенося слагаемые, содержащие или производные Þ

Þ

 

(2.13.9)

 

Þ используя преобразования Лапласа Þ

 

Þ

Уравнение кинетики в изображениях:

 

Þ

 

 

(2.13.10)

 

- передаточная функция «точечного» реактора с «нулевой» мощностью.

2-ой способ:

Используя систему (2.13.8) Þ

,т.к. Þ

 

Þ

 

Þ Þ

Þ

, т. к Þ

Þ Þ

 

Þ данное выражение совпало с выражением (2.13.10)

Хотя традиционной переходной характеристикой любого (почти любого) звена, объекта САР и т.д. является переходная функция h(t) (реакция на 1(t)), в данном случае такое воздействие по реактивности недопустимо, т.к. величина (зависит от вида ядерного топлива и типа реактора), и поэтому величина воздействия по реактивности больше, чем делает реактор критическим (точнее надкритическим) на мгновенных нейтронах, что недопустимо из соображений ядерной безопасности, т.к. таким реактором управлять практически невозможно. Þ Это особенно наглядно видно из системы уравнений (линеаризации) Þ

Þ

 

Если сумма 1-го и 3-го слагаемых отрицательна, то «разгон» реактора идет за счет 2-го слагаемого Þ для которого характерные времена определяются из 2-го уравнения системы Þ характерное время » 1/l» 10 сек.

Если , то разгон будет определяться, в основном, 3-им слагаемым в 1-ом уравнении Þ характерная постоянная времени , т. е. порядка 10^-3 сек (и меньше), а это в технике практически мгновенно, т.е. «взрыв»!!!

Поэтому рассмотрим реакцию на ступенчатое воздействие:

где Þ

 

 

n(t)

N_*(s) Þ

 

 

Þ примем, что , где - реакция на мгновенный«скачок»реактивности.

 

(2.13.11)

 

Нахождение оригинала выполним новым способом, Þ разложением изображения на элементарные дроби Þ

Þ Þ

Þ отсюда Þ

 

Þ подставляя значения А,В,С Þ при t > 0

тогда окончательно получаем:

 

(2.13.12)

 

или

, т.к. b>>l.×l.

Из выражения для Þ формула (2.13.12) Þ,т.к. Þ

при

при Þ