Классификация по виду математического описания

 

По виду математического описания (уравнений динамики и статики) системы автоматического управления (САУ) подразделяются на линейные и нелинейные системы (САУ или САР).

Каждый “подкласс” (линейных и нелинейных) подразделяется на еще ряд “подклассов”. Например, линейные САУ (САР) имеют различия по виду математического описания.

Поскольку в этом семестре будут рассматриваться динамические свойства только линейных систем автоматического управления (регулирования), то ниже приведем классификацию по виду математического описания для линейных САУ (САР):

1) Линейные системы автоматического управления, описываемые в переменных «вход-выход» обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) с постоянными коэффициентами:

(1.4.1)

где x(t) – входное воздействие; y(t) – выходное воздействие (регулируемая величина).

Если использовать операторную («компактную») форму записи линейного ОДУ, то уравнение (1.4.1) можно представить в следующем виде:

, (1.4.2)

где p = d/dt - оператор дифференцирования; L (p), N (p) - соответствующие линейные дифференциальные операторы, которые равны:

(1.4.2.а)

(1.4.2.б)

2) Линейные системы автоматического управления, описываемые линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) с переменными (во времени) коэффициентами:

(1.4.3)

В общем случае такие системы можно отнести и к классу нелинейных САУ (САР).

3) Линейные системы автоматического управления, описываемые линейными разностными уравнениями:

(1.4.4)

где f(…) – линейная функция аргументов; k = 1, 2, 3… - целые числа; Dt – интервал квантования (интервал дискретизации).

Уравнение (1.4.4) можно представить в «компактной» форме записи

(1.4.5)

Обычно такое описание линейных САУ (САР) используется в цифровых системах управления (с использованием ЭВМ).

4) Линейные системы автоматического управления с запаздыванием:

, (1.4.6)

где L (p), N (p) - линейные дифференциальные операторы; t - время запаздывания или постоянная запаздывания.

Если операторы L (p) и N (p) вырождаются (L (p) = 1; N (p) = 1), то уравнение (1.4.6) соответствует математическому описанию динамики звена идеального запаздывания:

а графическая иллюстрация его свойств представлена на рис. 1.8.

Рис. 1.8

5) Линейные системы автоматического управления, описываемые линейными дифференциальными уравнения в частных производных. Нередко такие САУ называют распределенными системами управления. Þ «Абстрактный» пример такого описания:

Система уравнений (1.4.7) описывает динамику линейно распределенной САУ, т.е. регулируемая величина зависит не только от времени, но и от одной пространственной координаты.

Если система управления представляет собой «пространственный» объект, то Þ

, (1.4.8)

где зависит от времени и пространственных координат, определяемых радиусом-вектором

6) САУ, описываемые системами ОДУ, или системами разностных уравнений, или системами уравнений в частных производных Þ и так далее…

Аналогичную классификацию можно предложить и для нелинейных САУ (САР)…

Если система уравнений линейна, то необходимы:

ü линейность статической характеристики САУ;

ü линейность уравнения динамики, т.е. переменные в уравнение динамики входят только в линейной комбинации.

Статической характеристикой называется зависимость выхода от величины входного воздействия в установившемся режиме (когда все переходные процессы затухли).

Для систем, описываемых линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами статическая характеристика получается из уравнения динамики (1.4.1) приравниванием нулю всех нестационарных членов Þ

На рис.1.9 представлены примеры линейной и нелинейных статических характеристик систем автоматического управления (регулирования).

Рис. 1.9

Нелинейность членов, содержащих производные по времени в уравнениях динамики, может возникнуть при использовании нелинейных математических операций (*, /, , , sin, ln и т.д.). Например, рассматривая уравнение динамики некоторой «абстрактной» САУ

отметим, что в этом уравнении при линейной статической характеристике () второе и третье слагаемые (динамические члены) в левой части уравнения - нелинейные, поэтому САУ, описываемая подобным уравнением, является нелинейной в динамическом плане.