Проблема описания информационно открытых систем.

 

Одна из особенностей нелинейной динамики открытых неравновесных систем (синергетики) состоит в том, что она имеет дело с неожиданными событиями. Эти события проявляют себя как качественные скачкообразные изменения состояния системы или режима ее развития в ответ на монотонное и медленное изменение параметров. При анализе всякий раз выясняется, что причиной неожиданности оказывается неустойчивость. Устойчивость (или неустойчивость) - внутреннее свойство исследуемой системы, а не результат внешнего воздействия. Особенность его в том, что проявляется оно только при наличии малых внешних воздействий. Эта особенность привела к важным методологическим последствиям.

Поясним сказанное на житейском примере. Рассмотрим два случая. В первом хрустальная ваза стоит на середине стола (состояние устойчиво). Прошел некто и неловким движением столкнул вазу со стола - она разбилась. В чем причина столь печального события, или, другими словами, кто виноват? Ясно, что виноват "некто" а причина - его неловкое движение. Рассмотрим другой случай: ваза стоит на краю стола так, что чуть не падает (состояние, близкое к неустойчивому). Пролетела муха - ваза разбилась. В этом случае муху не обвиняют, а говорят, что причина события в неустойчивом положении вазы. Виноват тот, кто ее поставил (так, чтобы никто не был виноват, в жизни обычно не бывает). Забегая несколько вперед, отметим, что в основе утверждения "событие произошло случайно" (то есть без видимой причины) также лежит неустойчивость динамических процессов. В общем случае выход из неустойчивого состояния возможен в разные стороны. Так, шарик, движущийся по водоразделу, может свалиться как вправо, так и влево. Направление зависит от начального возмущения. В отсутствии выделенного направления принимается, что малые возмущения равновероятны. Здесь мы впервые употребляем слово "вероятность". В устойчивых динамических системах оно не употребляется и, более того, не имеет смысла. В неустойчивых системах, напротив, достоверные предсказания не имеют смысла, и можно говорить лишь о вероятности того или иного результата. Таким образом, неустойчивость является тем свойством, которое позволяет ввести в динамическую теорию понятие "вероятность". Из изложенного следует, что устойчивость (неустойчивость) - не просто одно из свойств динамической системы. Это свойство существенно расширяет и изменяет аксиоматику динамических систем и позволяет взглянуть на мир с иной точки зрения. Ярким следствием неустойчивости является "динамический хаос".

При исследовании открытых систем, способных к самоорганизации, в качестве динамических переменных выступают самые различные величины: потенциалы и токи в физике, концентрации различных веществ в химии, численности организмов разных видов в биологии и экологии. Число переменных в реальных системах достаточно велико. Исследовать свойства многомерных систем сложно. На помощь приходят методы редукции, т. е. сведения системы уравнений, содержащих большое число дифференциальных уравнений (и, следовательно, переменных) к более простой системе из меньшего числа уравнений.

Редуцированную систему уравнений называют базовой. От неё требуется:

· Чтобы она описывала основные черты рассматриваемого явления.

· Чтобы она содержала минимальное число переменных и параметров.

· Чтобы она была "грубой" в смысле Андронова. Т.е., что при малом изменении параметров и слабом расширении базовой системы (то есть добавлении высших производных и/или новых членов с малыми коэффициентами), решения должны меняться мало.

В химической кинетике редукция кинетических уравнений использовалась давно и известна как метод стационарных концентраций. Он основан на временной иерархии процессов.

Информационные аспекты редукции в следующем. При редукции сложной системы количество информации сокращается, сохраняется только ценная информация, а не ценная забывается. Редукция сложных систем играет очень важную роль при описании и исследовании процессов самоорганизации. Как упоминалось, редукция основана на временной иерархии. Возникает вопрос: в каких случаях она имеет место и почему. В неживой природе она имеет место далеко не всегда. Так, например, при горении водорода образуется много промежуточных продуктов и времена их взаимопревращений примерно одного порядка. В процессах самоорганизации в живой природе, напротив, временная организация наблюдается практически всегда. Тому есть причины. Дело в том, что задачи моделирования и самоуправления во многом сходны и временная иерархия необходима и для того и для другого. Отсюда следует на первый взгляд парадоксальный вывод: построение математических моделей живых самоорганизующихся систем - задача более простая, чем моделирование процессов в неживой природе, хотя и последнее интересно и важно. Возможно, именно с этим связаны успехи синергетики в биологии, экологии и социальных науках.

Вопрос о связи информации и необратимости имеет принципиальное значение. В идеально обратимом мире информация не может возникнуть, поскольку любой выбор не может быть запомнен, (запоминание возможно лишь в диссипативных системах). Информационно-открытые системы имеет дело именно с диссипативными системами. Поэтому необратимость в нашем мире играет существенную конструктивную роль. Однако, в фундаментальных законах классической и квантовой физики время входит обратимо, так, что замена скоростей частиц на обратные эквивалентна повороту стрелы времени (т.е. замене t на - t). Иными словами, в гамильтоновых системах явление необратимости не может иметь места. В науке этот вопрос возник в очень острой форме на рубеже XIX и XX столетий. История вопроса поучительна и трагична. Людвиг Больцман был первым, кто попытался решить эту проблему. Он поставил цель: "вывести" законы термодинамики из уравнений Ньютона. Для этого рассмотрел систему из многих шаров, движущихся по ограниченной плоскости (биллиард Больцмана) и упруго соударяющихся друг с другом. Проведя, казалось бы, естественное усреднение, Больцман получил результаты, носящие его имя:

(1) закон возрастания энтропии (так называемая Н-теорема Больцмана),

(2) соотношение между энтропией и вероятностью: S = k ln W,

Эти результаты вошли в "золотой фонд" современной физики. Вместе с тем корректность расчетов Больцмана вызвала сомнение. Друг и постоянный оппонент Больцмана - математик Цермелло - возразил: изначальные уравнения симметричны во времени, а результат (возрастание энтропии) явно не симметричен. Такого не может быть, если все промежуточные вычисления математически корректны; следовательно, где-то допущена ошибка. Больцман не смог ответить и застрелился. Следующим был замечательный физик Эренфест. Он сформулировал проблему максимально четко, но ответа дать не смог и застрелился.

Современный взгляд на эту проблему известен как теорема Синая. Изложим суть дела. В механике обратимость во времени означает следующее. Пусть тело (например, шар в биллиарде Больцмана) в начальный момент (t=0) имеет координаты x0 и скорость v0 и далее движется в соответствии с законами механики. Если в момент времени t1 изменить знак скорости, то по прошествии того же времени t1 тело вернется в точку x0 и будет иметь скорость, равную - v0. (далее такой процесс будем называть обратимым). Этот результат связан с инвариантностью уравнений по отношению к инверсии времени. Это же свойство обеспечивает сохранение энергии в классической механике. Если такую процедуру провести со всеми шарами биллиарда Больцмана, то все они вернутся на исходные места (хотя и будут иметь противоположные скорости). В частности, если вначале (t=0) все шары были сконцентрированы в малой части доступного пространства, то после описанной процедуры они должны собраться там же. Этот результат означает, что энтропии начального и конечного состояний должны быть одинаковы и, следовательно, энтропия в динамических процессах не может возрастать (что и составляло суть возражений Цермелло).

В задаче Больцмана, следует задаться вопросом: устойчиво ли движение шаров в биллиарде? Если оно устойчиво, то Цермелло и Пуанкаре правы, и результаты Больцмана не корректны. Если оно неустойчиво, то это обстоятельство и является "причиной" необратимости процесса. Метод усреднения Больцмана оправдан, когда траектория шаров неустойчива. Неустоучивость траектории доказывает «биллиард Синая». Рост энтропии здесь связан просто с увеличением фазового объема Г(t), обусловленного глобальной неустойчивостью. Системы с такими свойствами называются эргодическими. Свойство эргодичности лежит в основе современной термодинамики. Ранее оно вводилось постулативно и называлось эргодической гипотезой (или гипотезой о микрохаосе), которую теперь можно считать не гипотезой, а следствием теоремы Синая. Траектории шаров не воспроизводимы, то есть имеет место глобальная неустойчивость - хаос. Средние значения, напротив, устойчивы. Обратимость в механическом смысле не имеет места, то есть при обращении знака времени (инверсии скоростей), частицы не движутся по прежним траекториям и не собираются в исходном месте.

В классической физике, как было показано выше, причиной необратимости является глобальная неустойчивость динамических процессов, то есть возникновения динамического хаоса. Попытки осуществить аналогичную программу в квантовой механике натолкнулись на трудности. Выяснилось, что замкнутые квантово-механические системы динамически устойчивы. Однако при определенных условиях квантово-механическая система становится параметрически неустойчивой, что приводит к возрастанию наблюдаемой энтропии. Систему, удовлетворяющую этим условиям называют классическим прибором.

Распределенные динамические системы. В синергетике многие явления развиваются как во времени, так и в пространстве. Речь идет о таких, популярных ныне, явлениях, как: образование диссипативных структур, границ между доменами, автоволнах и т.п. В этих процессах динамические переменные, будь то заряды, концентрации или численности живых организмов, могут перемещаться в пространстве за счет диффузии и миграции.