Свободные колебания упругих тел.

Рассмотрим сначала задачу на собственные колебания. Решение уравнений движения будем искать в виде

.

Здесь — функция только координат, но не времени. Анало­гичным образом представляются компоненты деформации и на­пряжения.

В дальнейшем для удобства через , будем обозначать амплитуды перемещений и напряжений, т.е. вместо будем в дальнейшем писать . Тогда, подставив искомое решение в уравнения движения (1), получим систему уравнений для амплитуд

. (7)

Внешние силы и граничные условия в случае свободных ко­лебаний должны быть нулевыми, при этом множитель сокращается.

Уравнения связи между амплитудами напряжений и деформаций сохраняют форму обычных уравнений закона Гука

.

Система уравнений (7) при однородных граничных условиях может иметь очевидное тривиальное решение

.

Однако при некоторых значениях параметра возможно и ненулевое решение

.

Соответствующие значения параметра — собственные часто­ты упругого тела, а функции определяют собственные формы колебаний. Заметим, что в (7) войдут квадраты собственных частот, которые сохранятся при всех дальнейших выкладках, поэтому корню будет всегда соответствовать второй, равный по величине и противоположный по знаку, корень . Мы не будем вводить для этих отрицательных корней специальную нумерацию, но следует помнить, что кроме решения всегда присутствует и второе решение . Это замечание позволяет образовывать из них действительные комбинации, которые одни только и имеют механический смысл.

Уравнения, связывающие величины и , вытекают из (7):

. (8)

Очевидно, что вследствие однородности системы уравнений и граничных условий искомые функции, входящие в (8), определены с точностью до произвольного множителя.

Уравнения (1) могут рассматриваться как уравнения статической задачи теории упругости с массовыми силами . Пусть есть какая-либо из собственных частот. Тогда представляет собой перемещение, вызванное действием распределенных по объему сил . Аналогичным образом силы при частоте вызывают перемещение . Но по теореме Бетти

,

или

.

Так как , то последнее равенство возможно, если интеграл равен нулю. Следовательно,

.

Это равенство выражает свойство ортогональности собственных формколебаний. Из условия ортогональности следует, в частности, что частоты всегда действительны. Чтобы доказать это, предположим противное, а именно, допустим, что . Уравнение для нахождения собственных частот будет обязательно иметь еще один комплексно сопряженный корень . Соответствующие собственные формы также будут комплексно сопряженными:

.

Из условия ортогональности следует

.

Но это равенство возможно лишь тогда, когда , . Таким образом, в линейной теории упругости движений с комплексными частотами быть не может. Очевидно, что этим исключается и случай чисто мнимых частот.

Поскольку определены лишь с точностью до произвольного постоянного множителя, их можно нормировать произвольным образом. Обычно принимают

. (9)

Соотношения (9) выражают условия нормирования и одновременно повторяют условия ортогональности собственных форм.

Перейдем теперь к исследованию свободных колебаний. Прин­цип суперпозиции (метод Фурье) позволяет представить общее выражение для перемещений при свободных колебаниях упругого тела следующим образом:

. (10)

Здесь , — неопределенные константы. Дифференцируя (10) по времени, находим

.

Приравнивая при значения перемещений и скоростей их заданным начальным значениям и , получим

.

Умножаем каждое из этих равенств на и интегрируем по объему. Вследствие (9) в левой части от каждого ряда остается лишь по одному члену

. (11)

Следует заметить, что соотношения (11) не предполагают возможности разложения функций и в ряды по собственным формам колебаний или фундаментальным функциям . Начальное распределение скоростей вообще может быть даже не непрерывным, и если говорить о сходимости, то речь может идти лишь о сходимости в среднем.