Постановка динамической задачи теории упругости

Динамические задачи теории упругости (часть 1)

 

Многие внешние воздействия на сооружения носят ярко выраженный динамический характер. Хотя при этом перемещения оказываются обычно небольшими, однако скорости и, главное, ускорения могут достигать величин, опасных для конструкции. К таким нагрузкам относятся сейсмические толчки, ветровые порывы, а также различные динамические воздействия технологического происхождения: движение поездов, кранов, неуравновешенных частей машин и механизмов.

Как известно из курса теоретической механики, ускоренные или замедленные движения масс вызывают инерционные силы, воздействующие на элементы конструкции так же, как и статические нагрузки. Особенностью динамических нагрузок является то, что в большинстве случаев они вызывают колебания, причем при периодическом повторении малых динамических воздействий в определенных условиях происходит накопление энергии системы. Постепенно увеличивается размах колебаний, а вместе с ним и интенсивности инерционных сил до очень больших значений. Это явление особенно опасно для сооружения, т.к. разрушение может произойти при малых воздействиях и в конструкциях, достаточно прочных по отношению к обычным статическим нагрузкам.

Здесь исследуются колебания упругих и неупругих элементов конструкций с бесконечным числом степеней свободы.

 

Динамические задачи теории упругости (часть 1)

 

Динамические задачи теории упругости (часть 1)

 

Многие внешние воздействия на сооружения носят ярко выраженный динамический характер. Хотя при этом перемещения оказываются обычно небольшими, однако скорости и, главное, ускорения могут достигать величин, опасных для конструкции. К таким нагрузкам относятся сейсмические толчки, ветровые порывы, а также различные динамические воздействия технологического происхождения: движение поездов, кранов, неуравновешенных частей машин и механизмов.

Как известно из курса теоретической механики, ускоренные или замедленные движения масс вызывают инерционные силы, воздействующие на элементы конструкции так же, как и статические нагрузки. Особенностью динамических нагрузок является то, что в большинстве случаев они вызывают колебания, причем при периодическом повторении малых динамических воздействий в определенных условиях происходит накопление энергии системы. Постепенно увеличивается размах колебаний, а вместе с ним и интенсивности инерционных сил до очень больших значений. Это явление особенно опасно для сооружения, т.к. разрушение может произойти при малых воздействиях и в конструкциях, достаточно прочных по отношению к обычным статическим нагрузкам.

Здесь исследуются колебания упругих и неупругих элементов конструкций с бесконечным числом степеней свободы.

 

Постановка динамической задачи теории упругости

Применяя принцип Д'Аламбера, можно получить уравнения движения упругого тела из уравнений равновесия, добавив к действующим массовым силам силы инерции:

.

Таким образом, уравнения движения будут следующие:

. (1)

Остальные уравнения (равновесия, совместности деформаций, Коши) и граничные условия сохраняются, но теперь к ним нужно добавить начальные условия

. (2)

Аналогично (1) из уравнений Ламе получаем уравнения движения в перемещениях однородной изотропной упругой среды

.

Часто бывает удобно представить поле перемещений в виде

. (2а)

Здесь и — скалярный и векторный потенциалы перемещений. Для однозначности потенциалов перемещений необходимо дополнительное условие, которое, как правило, принимают

. (3)

Если поле массовых сил также представить в подобном виде

,

то уравнения движения в перемещениях удовлетворяются, если потенциалы перемещений являются решениями следующих уравнений:

, (4а)

, (4б)

где величины

,

имеют размерность скорости и соответственно носят название скоростей распространения волн растяжения-сжатия и формоизменения.

Таким образом, для однородной изотропной упругой среды замкнутая система уравнений движения в потенциалах перемещений состоит из (4) и (3). Начальные условия (2) для нее должны быть записаны в потенциалах

,

где

Отметим, что, несмотря на независимость уравнений (4), как правило, в начально-краевых задачах они связаны граничными условиями.

Сформулированную динамическую задачу теории упругости называют нестационарной. Ее признак — наличие в постановке задачи инерционных членов в уравнениях движения и начальных условий.

Частный случай этой задачи — свободные колебания. В этом случае упругое тело свободно от действия внешних сил, , на . Часть поверхности может быть неподвижно закреплена, на ней . Заданы начальные условия (2), которые приводят тело в движение сообщением ему начального распределения перемещений и скоростей.

Рассмотрение предельных случаев нестационарной задачи приводит к стационарнымдинамическим задачам. Их признак — отсутствие начальных условий. К ним относятся задачи о собственных и вынужденных гармонических колебаниях, а также задачи о прогрессивных волнах.

Собственные колебания. Под ними понимается задача на собственные значения (собственные частоты) для однородных уравнений теории упругости при однородных граничных условиях (отсутствуют внешние силы, перемещения на поверхности равны нулю). Начальные условия не учитываются. Полученные в результате решения этой задачи собственные частоты и формы колебаний, как правило, используются для представления решений нестационарных задач в виде рядов Фурье.

Вынужденные гармонические колебания. В этом случае объемные силы , поверхностные силы и заданные перемещения точек поверхности представляют собой периодические функции времени, такие, что

.

Величины с верхним индексом «*» не зависят от времени, поэтому в качестве типового представителя функции можно принять

Действительно, любая периодическая функция может быть представлена рядом Фурье. Построив решение для одного члена этого ряда, мы можем воспользоваться принципом суперпозиции для построения полного решения.

Прогрессивные волны. Под ними понимается частные решения уравнений динамической теории упругости, соответствующие волнам, распространяющимся вдоль прямой при отсутствии начальных условий.