Метод минимального числа ошибочных решений

В этом методе стоимости решений принимаются одинаково, и отношение правдоподобия принимает вид

(2.5)

Решение аналогично методу минимального риска.

Метод наибольшего правдоподобия

Здесь отношение априорных вероятностей исправного (Р ₁) и неисправного (Р ₂) состояний принимается равным единице, а условие нахождения K₀ выглядит так:

(2.6)

 

Пример

Определить предельное значение параметра K ₀, выше которого объект подлежит снятию с эксплуатации.

Объект - газотурбинный двигатель.

Параметр - содержание железа в масле K, (г/т). Параметр имеет нормальное распределение при исправном (D ₁) и неисправном (D ₂) состояниях. Известно:

 

Решение

Метод минимального риска

Согласно выражению (2.4)

После подстановки выражения

и логарифмирования получаем

Преобразуя и решая данное квадратное уравнение, получим:

K₀₁ =2,24; К₀₂ =0,47. Искомое граничное значение К₀ =2,24.

Метод минимального числа ошибочных решений

Условие получения K ₀:

Подставляя и раскрывая соответствующие плотности вероятностей, получаем

уравнение:

Подходящим корнем этого уравнения является величина 2,57.

Итак, K ₀ = 2,57.

Метод наибольшего правдоподобия

Условие получения К₀:

F(K₀/D₁) = F(K₀/D₂).

Итоговое квадратное уравнение будет выглядеть так:

Искомое K₀ = 2,31.

Определим вероятность ложной тревоги P(H ₂₁ ), вероятность пропуска дефекта Р(Н₁₂), а также величину среднего риска R для граничных значений K₀, найденных различными методами.

Если в исходных условиях K₁<K₂, то

и

Если в исходных условиях K₁> K₂, то

и

Для метода минимального риска при K₀ =2,29 получаем следующее

Для метода минимального числа ошибочных решений при K₀ =2,57:

Для метода наибольшего правдоподобия при K ₀ =2,37:

Сведем результаты расчетов в итоговую таблицу.

 

Метод	Граничное значение K0	P(H21)	Р(Н12)	R
Минимального риска	2,29	0,0139	0,0024	0.0619
Минимального числа ошибок	2,57	0,0009	0,0045	0,0909
Наибольшего правдоподобия	2.37	0,0068	0,0029	0,0656

 

Задания к задаче №2.

Вариант задания выбирается по двум последним цифрам номера зачетной книжки. Во всех заданиях требуется определить граничное значение K ₀, разделяющее объекты на два класса: исправный и неисправный. Результаты решений наносятся на график (рис. 9.1), который строится на миллиметровке и вклеивается в работу.

Итак, техническое диагностирование объекта осуществляется по параметру K. Для исправного объекта даются среднее значение параметра K ₁ и среднеквадратическое отклонение σ ₁. Для неисправного соответственно K₂ и σ ₂. В исходных данных также для каждого варианта приводится соотношение цен C₁₂/C₂₁. Распределение K принимается нормальным. Во всех вариантах P₁ =0,9; P₂ =0,1.

Варианты заданий приведены в табл. 2.1-2.10.

 

Исходные данные к вариантам 00÷09 (табл. 2.1):

Объект - газотурбинный двигатель.

Параметр - виброскорость (мм/с).

Неисправное состояние - нарушение нормальных условий работы опор ротора двигателя.

 

Таблица 2.1

Обозначение величин	Варианты
K1
K2
σ1
σ 2
C12/C21

 

Исходные данные к вариантам 10÷19 (табл. 2.2):

Объект - газотурбинный двигатель.

Параметр - концентрация примесей меди (Cu) в масле (г/т).

Неисправное состояние - повышенная концентрация Cu в масле из-за интенсификации процессов изнашивания омедненных шлицевых соединений приводных валов.

Таблица 2.2

Обозначение величин	Варианты
K1	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
K2
σ1	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3
σ 2
C12/C21

 

Исходные данные к вариантам 20÷29 (табл. 2.3):

Объект - подкачиваемый топливный насос топливной системы.

Параметр - давление топлива на выходе (кг/см²).

Неисправное состояние - деформация крыльчатки.

 

Таблица 2.3

Обозначение величин	Варианты
K1	2,50	2,55	2,60	2,65	2,70	2,75	2,80	2,85	2,90	2,95
K2	1,80	1,85	1,90	1,95	2,00	2,05	2,10	2,15	2,20	2,25
σ1	0,20	0,20	0,20	0,20	0,20	0,20	0,20	0,20	0,20	0,20
σ 2	0,30	0,30	0,30	0,30	0,30	0,30	0,30	0,30	0,30	0,30
C12/C21

 

Исходные данные к вариантам 30÷39 (табл. 2.4):

Объект - газотурбинный двигатель.

Параметр - уровень виброперегрузок (g).

Неисправное состояние - раскатка наружной обоймы подшипников.

 

Таблица 2.4

Обозначение величин	Варианты
K1	4,5	4,6	4,7	4,8	4,9	5,0	5,1	5,2	5,3	5,4
K2	6,0	6,1	6,2	6,3	6,4	6,5	6,6	6,7	6,8	6,9
σ1	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5
σ 2	0,7	0,7	0,7	0,7	0,7	0,7	0,7	0,7	0,7	0,7
C12/C21

 

Исходные данные к вариантам 40÷49 (табл. 2.5):

Объект - межвальный подшипник газотурбинного двигателя.

Параметр - показания виброакустического прибора контроля состояния подшипника (µа).

Неисправное состояние - появление следов выкрашивания на беговых дорожках подшипника.

Таблица 2.5

Обозначение величин	Варианты
K1
K2
σ1
σ 2
C12/C21

 

Исходные данные к вариантам 50÷59 (табл. 2.6)

Объект - газотурбинный двигатель.

Параметр - содержание железа (Fe) в масле (г/т).

Неисправное состояние - повышенная концентрация Fe в масле из-за ускоренного изнашивания зубчатых соединений в коробке приводов.

Таблица 2.6

Обозначение величин	Варианты
K1	1,95	2,02	1,76	1,82	1,71	1,68	1,73	1,81	1,83	1,86
K2	4,38	4,61	4,18	4,32	4,44	4,10	4,15	4,29	4,39	4,82
σ1	0,3	0,3	0,3	0.3	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3
σ 2
C12/C21

 

Исходные данные к вариантам 60÷69 (табл. 2.7):

Объект - масло для смазки газотурбинного двигателя.

Параметр - оптическая плотность масла, %.

Неисправное состояние - пониженные эксплуатационные свойства масла, имеющего оптическую плотность.

Таблица 2.7

Обозначение величин	Варианты
K1
K2
σ1
σ 2
C12/C21

 

Исходные данные к вариантам 70÷79 (табл. 2.8):

Объект - топливные фильтроэлементы.

Параметр - концентрация примесей меди (Cu) в масле (г/т).

Неисправное состояние - повышенная концентрация Cu в масле из-за интенсификации процессов изнашивания омедненных шлицевых соединений приводных валов.

Таблица 2.8

Обозначение величин	Варианты
K1
K2
σ1
σ 2
C12/C21

Исходные данные к вариантам 80÷89 (табл. 2.9)

Объект - аксиально-поршневой насос.

Параметр - величина производительности насоса, выражаемая объемным

КПД (в долях от 1,0).

Неисправное состояние - низкое значение объемного КПД, связанное с поломкой насоса.

Таблица 2.9

Обозначение величин	Варианты
K1	0,92	0,91	0,90	0,89	0,88	0,07	0,86	0,85	0,84	0,83
K2	0,63	0,62	0,51	0,50	0,49	0,48	0,47	0,46	0,45	0,44
σ1	0,11	0,11	0,11	0,11	0,11	0,11	0,11	0,11	0,11	0,11
σ 2	0,14	0,14	0,14	0,14	0,14	0,14	0,14	0,14	0,14	0,14
C12/C21

 

Исходные данные к вариантам 90÷99 (табл. 2.10)

Объект - система управления самолета, состоящая из жестких тяг.

Параметр - суммарный осевой люфт сочленений, мкм.

Неисправное состояние - повышенный суммарный осевой люфт из-за износа сопрягаемых пар.

Таблица 2.10

Обозначение величин	Варианты
K1
K2
σ1
σ 2
C12/C21