Задача№1. Распознавание с помощью метода Байеса

Постановка задачи при этом методе такова. Имеется объект, который в данный момент времени находится в одном из n случайных состояний D _i. Известна совокупность признаков (параметров) K=(K₁,K₂,…,K_v), каждый из которых с определенной вероятностью характеризует состояние объекта. Требуется по совокупности проявления (не проявления) признаков отнести объект к одному из возможных состояний (классов, диагнозов).

Итак, если имеется диагноз D_i и простой признак K_j, встречающийся при этом диагнозе, то вероятность совместного появления этих событий (наличие у объекта состояния D_i и признака K_j) согласно формуле Байеса равна:

(1)

В формуле (1) P (D_i) - вероятность диагноза D_i по предварительным (априорным) статистическим данным. Так, если предварительно обследовано N объектов и у N_i объектов имелось состояние D_i, то

P(K_j /D_i) - вероятность появления признака K_j у объектов с состоянием D_i. Если среди N_i объектов, имеющих диагноз D_i, у N_ij проявляется признак K_j, то

P (K_j) - вероятность появления признака K_j во всех объектах независимо от состояния (диагноза) объекта. Если из общего числа N объектов признак был обнаружен у N_j объектов, то

 

Для установления диагноза величина P(K_j) может быть определена через значения P (D_i) и P(K/D_j), известные для всех возможных состояний.

P(D/ K_j) - вероятность диагноза D_i после того, как стало известно наличие у рассматриваемого объекта признака K_j (апостериорная вероятность диагноза).

Более общим является случай, когда обследование проводится по комплексу признаков K, включающему признаки K₁,K₂,…,K_v, каждый из которых имеет m_j разрядов (K_j1,K_j2,…,K_jv..). В результате наблюдения становятся известными реализации комплекса признаков K.

Обобщенная формула Байеса имеет следующий вид:

(2)

где P(D_i/K^*) - вероятность (апостериорная) диагноза D_i после того, как стали известны результаты обследования по комплексу признаков K,

P(D_i) - априорная вероятность диагноза;

P(K/D_i) - вероятность появления комплекса признаков K в состоянии D_i.

В большинстве практических задач, особенно при большом числе признаков, можно допускать, что признаки независимы, даже при наличии существенных корреляционных связей между ними и тогда

(3)

Для определения вероятностей диагнозов по методу Байеса составляется диагностическая матрица (табл. 1), которая формируется на основе предварительного статистического материала.

Таблица 1

Диагностическая матрица

Диагнозы Di	Признаки	P(Di)
K 1	K 2
P(K 11 /Di)	P(K 12 /Di)	P(K 12 /Di)	P(K 22 /Di)
D 1 . . Dn

В этой таблице содержатся вероятности разрядов признаков P(K_jS/D_j) при различных диагнозах. Если признаки двухразрядные (простые признаки "да-нет"), то в таблице достаточно указать вероятность появления признака P(K_j /D_i ). Вероятность отсутствия признака

(4)

Сумма вероятностей всех реализаций признака K_j равна единице

При методе Байеса используется следующее правило: объект с комплексом признаков K^* относится к диагнозу (классу) с наибольшей вероятностью K^* D_i, если P(D_i/K) > P(D_j/K), где j=1,2,...n; i≠j.

Пример

При наблюдении за газотурбинным двигателем (ГТД)фиксируется два признака: K₁ – повышение температуры газа за турбиной более чем на 50°С и K₂ – увеличение времени выхода на максимальную частоту вращения более чем на 5 с. Проявление (не проявление) этих признаков связано либо c неисправностью топливного регулятора (состояние D₁), либо с увеличением радиального зазора в турбине (состояние D₂), либо с нормальным состоянием двигателя (состояние D₃).

При нормальном состоянии двигателя признак K₂ не наблюдается, а признак K_j наблюдается в 5% случаев. В состоянии D₂ признак K₁ встречается в 20%, а признак K₂ в 30% случаев. В состоянии D₂ признак K₁ встречается в 40%, а признак K₂ в 50% случаев. Известно, что 80% двигателей вырабатывают ресурс в нормальном состоянии, 5% двигателей имеют состояние D₁ и 15% - состояние D₂. Требуется определить состояния двигателя (поставить диагноз) при возможных сочетаниях проверяемых признаков.

1. Сведем исходные данные в диагностическую таблицу (табл. 2). При этом вероятности отсутствия признаков P(K_j/D_i) вычислим по формуле (1.4).

 

Таблица 2

Вероятности признаков и априорные вероятности состояний

	0,2	0,8	0,3	0,7	0,05
	0,4	0,6	0,5	0,5	0,15
	0,0	1,0	0,05	0,95	0,80

 

2. Найдем вероятности состояний, когда проявляются оба признака P(D₁/K₁K₂). Считая признаки независимыми, применим формулы (1.2) и (1.3). Вероятность состояния D₁ при наличии признаков K₁ и K₂:

Аналогично получим: P(D ₂ /K ₁ K ₂ )= 0,91; P(D ₃ /K ₁ K ₂ ) =0.

3. Определим вероятности состояний двигателя, если обследование показало, что повышение температуры не наблюдается (признак K₁ отсутствует), но увеличивается время выхода на максимальную частоту вращения (признак K₂ наблюдается). Используем те же формулы (2) и (3):

Аналогично: P(D ₂ /K ₁ K ₂ )= 0,46; P(D ₃ /K ₁ K ₂ ) =0,41.

4. Вычислим вероятности состояний, когда признак K₁ наблюдается, а признак K₂ - отсутствует;

Аналогично: P(D ₂ /K ₁ K ₂ )= 0,81; P(D ₃ /K ₁ K ₂ ) =0,0.

 

5. Вычисления вероятностей состояния при отсутствии обоих признаков K₁ и K₂ дают следующие результаты:

Занесем результаты в табл. 3.

Таблица 3

Результаты диагноза

D1	0,09	0,12	0,19	0,03
D2	0,91	0,46	0,81	0,05
D3	0,00	0,41	0,00	0,92

6. Анализ результатов позволяет установить, что при наличии признаков K₁ и K₂ в двигателе с вероятностью 0,91 имеется событие D ₂ (увеличение радиального зазора). При отсутствии обоих признаков наиболее вероятно нормальное состояние (вероятность 0,92). При отсутствии признака K₁ и наличия признака K₂ вероятности состояний D ₂ и D₃ примерно одинаковы (0,46 и 0,41). В этом случае для уточнения состояния двигателя требуется проведение дополнительного обследования.

7. Ранжируем состояние D_i по степени опасности (влияния на безопасность полетов). В нашем случае последовательность состояний будет такова: D₂ – D ₁ - D₃. Отсюда назначаем последовательность проверок:

проверяется и ;

проверяется К1 и ;

проверяется К1 и К2.

 

Задания к задаче №1

 

Вариант задания выбирается по двум последним цифрам зачетной книжки. Во всех заданиях требуется определить взаимосвязь между ситуациями проявляемых признаков и возможными состояниями объекта. Кроме того, необходимо назначить последовательность диагностических проверок исходя из степени опасности возможных состояний.

Варианты заданий приведены в табл. 1.4 - 1.13.

Исходные данные к вариантам 00÷09 (табл. 1.4)

Объект - маслосистема газотурбинного двигателя.

Признаки: K₁ - повышение давления масла в нагнетающей магистрали;

K₂ - увеличенный расход масла через систему суфлирования.

Состояния: D₁ - неисправное состояние маслонасоса откачки;

D₂ - закупорка масляных форсунок коксом;

D₃ - исправное состояние.

Таблица 1.4

Вероятности	Варианты
P(K1/D1)	0,10	0,11	0,12	0,13	0,14	0,15	0,16	0,17	0,18	0,19
P(K2/D1)	0,31	0,32	0,33	0,34	0,35	0,36	0,37	0,38	0,39	0,40
P(K1/D2)	0,25	0,26	0,27	0,28	0,29	0,30	0,31	0,32	0,33	0,34
P(K2/D2)	0,08	0,09	0,10	0,11	0,12	0,13	0,14	0,15	0,16	0,17
P(K1/D3)	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06
P(K2/D3)	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00
P(D1)	0,10	0,20	0,15	0,25	0,12	0,14	0,16	0,18	0,22	0,24
P(D2)	0,20	0,30	0,40	0,25	0,35	0,45	0,22	0,32	0,42	0,15
P(D3)	0,70	0,50	0,45	0,50	0,53	0,41	0,62	0,50	0,46	0,61

 

Исходные данные к вариантам 10÷19 (табл. 1.5)

Объект - авиационный газотурбинный двигатель.

Признаки: K₁ - помпаж двигателя;

K₂ - повышенный расход топлива.

Состояния: D₁ - повреждение рабочих лопаток проточной части;

D₂ - нарушение регулировки топливной аппаратуры;

D₃ - исправное состояние.

Таблица 1.5

Вероятности	Варианты
P(K1/D1)	0,20	0,21	0,22	0,23	0,24	0,25	0,26	0,27	0,28	0,29
P(K2/D1)	0,31	0,34	0,33	0,36	0,34	0,35	0,39	0,37	0,38	0,36
P(K1/D2)	0,40	0,41	0,42	0,43	0,44	0,45	0,46	0,47	0,46	0,49
P(K2/D2)	0,19	0,20	0,21	0,22	0,23	0,24	0,25	0,26	0,27	0,26
P(K1/D3)	0,00	0,05	0,00	0,05	0,00	0,05	0,00	0,06	0,00	0,05
P(K2/D3)	0,05	0,00	0,05	0,00	0,05	0,00	0,05	0,00	0,05	0,00
P(D1)	0,05	0,15	0,06	0,07	0,12	0,05	0,09	0,06	0,04	0,16
P(D2)	0,16	0,05	0,20	0,13	0,15	0,05	0,11	0,14	0,14	0,06
P(D3)	0,80	0,60	0,74	0,80	0,73	0,90	0,80	0,80	0,82	0,79

 

Исходные данные к вариантам 20÷29 (табл. 1.6):

Объект - зубчатое соединение в коробке приводов ГТД.

Признаки: K₁ - постоянный шум в коробке приводов;

K₂ - металлическая стружка в магистрали откачки масла из коробки.

Состояния: D₁ - нарушение условий смазки шестерен;

D₂ - износ и поломка отдельных зубьев шестерен;

D₃ - исправное состояние.

Таблица 1.6

Вероятности	Варианты
P(K1/D1)	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,10	0,11
P(K2/D1)	0,25	0,26	0,27	0,28	0,29	0,30	0,31	0,32	0,33	0,34
P(K1/D2)	0,17	0,18	0,19	0,20	0,21	0,22	0,23	0,24	0,25	0,26
P(K2/D2)	0,07	0,08	0,09	0,10	0,11	0,12	0,13	0,14	0,15	0,16
P(K1/D3)	0,00	0,04	0,00	0,04	0,00	0,04	0,00	0,04	0,00	0,04
P(K2/D3)	0,04	0,00	0,04	0,00	0,04	0,00	0,04	0,00	0,04	0,00
P(D1)	0,15	0,17	0,19	0,11	0,13	0,21	0,16	0,18	0,20	0,22
P(D2)	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,10
P(D3)	0,84	0,81	0,78	0,85	0,82	0,73	0,77	0,74	0,71	0,68

 

Исходные данные к вариантам 30÷39 (табл. 1.7)

Объект - подшипник качения.

Признаки: K₁ - сокращенный выбег ротора двигателя;

K₂ - увеличенная вибрация двигателя.

Состояния: D₁ - заклинивание тел качения подшипника из-за ухудшения условий смазки;

D₂ - касание ротора о корпус двигателя из-за интенсивной раскатки наружной обоймы;

D₃ - исправное состояние.

Таблица 1.7

Вероятности	Варианты
P(K1/D1)	0,30	0,31	0,32	0,33	0,34	0,35	0,36	0,37	0,38	0,39
P(K2/D1)	0,11	0,12	0,13	0,14	0,15	0,16	0,17	0,18	0,19	0,20
P(K1/D2)	0,25	0,26	0,27	0,28	0,29	0,30	0,31	0,32	0,33	0,34
P(K2/D2)	0,06	0,07	0,08	0,09	0,10	0,11	0,12	0,13	0,14	0,15
P(K1/D3)	0,07	0,00	0,07	0,00	0,07	0,00	0,07	0,00	0,07	0,00
P(K2/D3)	0,00	0,07	0,00	0,07	0,00	0,07	0,00	0,07	0,00	0,07
P(D1)	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,12	0,14	0,16	0,18	0,20
P(D2)	0,20	0,30	0,40	0,15	0,10	0,14	0,17	0,21	0,30	0,08
P(D3)	0,70	0,55	0,40	0,60	0,60	0,74	0,69	0,63	0,52	0,72

 

Исходные данные к вариантам 40÷49 (табл. 1.8)

Объект - авиационный газотурбинный двигатель.

Признаки: К₁ - колебания температуры газа за турбиной относительно среднего значения;

К₂ - колебания частоты вращения ротора низкого давления относительно среднего значения.

Состояния: D₁ - неисправность топливного регулятора;

D₂ - увеличение радиального зазора в турбине;

D₃ - исправное состояние.

Таблица 1.8

Вероятности	Варианты
P(K1/D1)	0,40	0,41	0,42	0,43	0,44	0,45	0,46	0,47	0,48	0,49
P(K2/D1)	0,13	0,14	0,15	0,16	0,17	0,18	0,19	0,20	0,21	0,22
P(K1/D2)	0,07	0,08	0,09	0,10	0,11	0,12	0,13	0,14	0,15	0,16
P(K2/D2)	0,31	0,32	0,33	0,34	0,35	0,36	0,37	0,38	0,39	0,40
P(K1/D3)	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00
P(K2/D3)	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06
P(D1)	0,05	0,06	0,04	0,04	0,04	0,06	0,06	0,05	0,04	0,05
P(D2)	0,13	0,04	0,16	0,28	0,24	0,15	0,09	0,00	0,00	0,02
P(D3)	0,82	0,91	0,00	0,78	0,72	0,80	0,85	0,95	0,96	0,93

 

Исходные данные к вариантам 50÷59 (табл. 1.9)

Объект - газотурбинный двигатель.

Признаки: К₁ - увеличение уровня вибрации в полете;

К₂ - нестабильные показания давления масла в маслосистеме.

Состояния: D₁ - нарушение смазки подшипников ротора;

D₂ - нарушение балансировки вследствие неравномерности выработки лабиринтных уплотнений;

D₃ - исправное состояние.

Таблица 1.9

Вероятности	Варианты
P(K1/D1)	0,20	0,23	0,13	0,17	0,32	0,27	0,10	0,30	0,28	0,23
P(K2/D1)	0,28	0,33	0,19	0,24	0,45	0,38	0,15,	0,42	0,40	0,33
P(K1/D2)	0,26	0,30	0,18	0,22	0,42	0,35	0,14	0,39	0,37	0,30
P(K2/D2)	0,47	0,55	0,32	0,40	0,75	0,63	0,25	0,70	0,66	0,55
P(K1/D3)	0,00	0,08	0,00	0,08	0,00	0,08	0,00	0,08	0,00	0,08
P(K2/D3)	0,08	0,00	0,08	0,00	0,08	0,00	0,08	0,00	0,08	0,00
P(D1)	0,04	0,05	0,05	0,04	0,05	0,05	0,05	0,05	0,05	0,05
P(D2)	0,17	0,15	0,14	0,18	0,10	0,04	0,01	0,03	0,04	0,13
P(D3)	0,79	0,80	0,81	0,78	0,85	0,91	0,94	0,92	0,91	0,82

 

Исходные данные к вариантам 60÷69 (табл. 1.10)

Объект - авиационный газотурбинный двигатель.

Признаки: К₁ - нарушение регулировки топливного насоса из-за усадки пружин;

К₂ - засорение каналов и жиклеров командного топлива.

Состояния: D₁ - падение тяги двигателя;

D₂ - невыход двигателя на заданную частоту вращения ротора;

D₃ - исправное состояние.

Таблица 1.10

Вероятности	Варианты
P(K1/D1)	0,28	0,34	0,24	0,13	0,34	0,19	0,23	0,25	0,31	0,22
P(K2/D1)	0,42	0,51	0,36	0,20	0,51	0,28	0,34	0,37	0,46	0,33
P(K1/D2)	0,54	0,57	0,42	0,25	0,58	0,35	0,44	0,48	0,60	0,43
P(K2/D2)	0,67	0,72	0,52	0,31	0,72	0,44	0,55	0,60	0,75	0,54
P(K1/D3)	0,00	0,03	0,00	0,03	0,00	0,03	0,00	0,03	0,00	0,03
P(K2/D3)	0,03	0,00	0,03	0,00	0,03	0,00	0,03	0,00	0,03	0,00
P(D1)	0,02	0,01	0,01	0,02	0,02	0,05	0,01	0,02	0,04	0,01
P(D2)	0,07	0,04	0,05	0,06	0,06	0,16	0,05	0,06	0,12	0,33
P(D3)	0,91	0,95	0,94	0,92	0,92	0,79	0,94	0,92	0,84	0,66

 

Исходные данные к вариантам 70÷79 (табл. 1.11):

Объект - насос гидросистемы самолета.

Признаки: К₁ - течь масла из штуцера дренажной линии;

К₂ - повышение вибрации корпуса насоса.

Состояния: D ₁ - износ подшипников;

D₂ - износ или разрушение деталей сальника приводного валика;

D₃ - исправное состояние.

Таблица 1.11

Вероятности	Варианты
P(K1/D1)	0,07	0,08	0,09	0,10	0,11	0,12	0,13	0,14	0,15	0,16
P(K2/D1)	0,23	0,24	0,25	0,26	0,27	0,28	0,29	0,30	0,31	0,32
P(K1/D2)	0,41	0,42	0,43	0,44	0,45	0,46	0,47	0,48	0,49	0,50
P(K2/D2)	0,11	0,12	0,13	0,14		0,16	0,17	0,18	0,19	0,20
P(K1/D3)	0,00	0,04	0,00	0,04	0,00	0,04	0,00	0,04	0,00	0,04
P(K2/D3)	0,04	0,00	0,04	0,00	0,04	0,00	0,04	0,00	0,04	0,00
P(D1)	0,15	0,07	0,06	0,09	0,08	0,06	0,07	0,11	0,12	0,03
P(D2)	0,05	0,04	0,03	0,04	0,02	0,03	0,06	0,05	0,06	0,14
P(D3)	0,80	0,89	0,91	0,87	0,90	0,91	0,87	0,84	0,82	0,83

 

Исходные данные к вариантам 80÷89 (табл. 1.12):

Объект - аксиально-поршневой гидронасос.

Признаки: К₁ - течь рабочей жидкости из дренажного штуцера;

К₂ - течь рабочей жидкости из дренажного штуцера при неработающем насосе.

Состояния: D₁ - повреждение манжетного уплотнения вала;

D₂ - повреждение уплотнительных колец;

D₃ - исправное состояние.

Таблица 1.12

Вероятности	Варианты
P(K1/D1)	0,16	0,15	0,30	0,20	0,15	0,20	0,18	0,80	0,70	0,75
P(K2/D1)	0,35	0,25	0,20	0,35	0,40	0,40	0,30	0,50	0,40	0,50
P(K1/D2)	0,85	0,75	0,50	0,80	0,70	0,75	0,70	0,20	0,20	0,15
P(K2/D2)	0,55	0,45	0,80	0,55	0,60	0,40	0,40	0,40	0,30	0,25
P(K1/D3)	0,05	0,00	0,10	0,00	0,15	0,00	0,04	0;00	0,05	0,00
P(K2/D3)	0,00	0,05	0,00	0,10	0,05	0,10	0,00	0,02	0,00	0,06
P(D1)	0,10	0,10	0,05	0,15	0,10	0,03	0,05	0,08	0,10	0,05
P(D2)	0,10	0,05	0,10	0,05	0,15	0,12	0,05	0,00	0,00	0,12
P(D3)	0,80	0,85	0,85	0,80	0,75	0,85	0,90	0,92	0,90	0,83

 

Исходные данные к вариантам 90÷99 (табл. 1.13):

Объект - топливная система самолета.

Признаки: К₁ - завышенное показание расходомера одного из двигателей;

К₂ - заниженное показание расходомера двигателя.

Состояния: D₁ - попадание влаги в штепсельный разъем расходомера;

D₂ - не отрегулированы "0"и "max" шкалы расходомера;

D₃ - исправное состояние.

 

Таблица 1.13

Вероятности	Варианты
P(K1/D1)	0,40	0,41	0,42	0,43	0,44	0,45	0,46	0,47	0,48	0,49
P(K2/D1)	0,11	0,12	0,13	0,14	0,15	0,16	0,17	0,18	0,19	0,20
P(K1/D2)	0,32	0,33	0,34	0,35	0,36	0,37	0,38	0,39	0,40	0,41
P(K2/D2)	0,14	0,15	0,16	0,17	0,18	0,19	0,20	0,21	0,22	0,23
P(K1/D3)	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06	0,00	0,06
P(K2/D3)	0,05	0,00	0,05	0,00	0,05	0,00	0,05	0,00	0,05	0,00
P(D1)	0,15	0,06	0,04	0,03	0,10	0,06	0,04	0,08	0,01	0,07
P(D2)	0,03	0,07	0,08	0,10	0,05	0,09	0,07	0,03	0,11	0,04
P(D3)	0,82	0,87	0,88	0,87	0,85	0,85	0,89	0,89	0,88	0,83