Понятие алгебры. Алгебра множеств

Алгеброй A называется совокупность множества M с заданными в нем операциями S={f₁,f₂,…;f_n}, т.е.

A=<M,S>, где M – носитель алгебры, S – сигнатура алгебры, которая включает в себя одноместные, двухместные и другие операции.

Алгебра вида A=<M,f>, где f – двухместная операция, называется группоидом.

Если f – операция типа умножения(x), то группоид называется мультипликативным. Если f – операция типа сложения (+), то группоид называется аддитивным. Здесь знаки (x) и (+) не обязательно означают умножение и сложение чисел. Они просто указывают на то, что над элементами множества (не обязательно числами) выполняются некоторые операции. Эти операции могут лишь внешне напоминать обычные операции умножения или сложения чисел, но по существу в общем случае – это другие операции. Удобство аддитивных и мультипликативных обозначений состоит в том, что при операциях над числами различные соотношения совпадают с общепринятой формой записи.

Элемент e M называется нейтральнымэлементом группоида A, если для m M выполняется равенство

mfe = efm= m.

Если группоид A=<M,f> мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей и обозначается через 1, если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем иобозначается через 0.

Если множество M содержит нейтральный элемент e относительно операции f, то элемент n называется обратным элементу m,

если mfn = nfm= e.

Запись =n означает, что обратным элементом m является элемент n.

При аддитивной записи обратный элемент элементу m обозначается через (-m), а при мультипликативной записи–через (m^-1).

Группоид A=<M,f> называется идемпотентным, если его сигнатура удовлетворяет закону идемпотентности

m M mfm = m.

Группоид A=<M,f> называется коммутативным или абелевым, если его сигнатура подчиняется закону коммутативности

m,n M mfn = nfm.

Группоид A=<M,f> называется ассоциативным или полугруппой, если его сигнатура удовлетворяет закону ассоциативности

m,n,p M (mfn)fp = mf(nfp).

Полугруппа A=<M,f>, в которой выполнимы обратные операции, называется группой.

Алгебра A=<M, x, +>, которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению – абелевой группой. причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

m (n + p) = m n + m p

(n + p) m = n m + p m,

называется кольцом.

Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом.

Тело, у которого мультипликативная группа абелева, называется полем.

Пример 1. Аддитивная операция, заданная в множестве M = {a,b,c}, представлена в виде таблицы Кэли

Определить тип группоида A = <M, + >. Указать нейтральные и обратные элементы, если они существуют.

Так как операция (+), то группоид A = <M, + > является аддитивным. В таблице Кэли на пересечении строки и столбца

стоит результат операции f, т.е. f .

Распишем заданную таблицу Кэли. В нашем примере операция f есть операция типа сложения. Тогда имеем

a + a = b, b + a = c, c + a = b,

a + b = c, b + b = c, c + b = b,

a + c = a, b + c = b, c + c = c. Проверим, является ли группоид A = <M, + > идемпотентным. Для этого должно выполнятся следующие условие:

m M m + m = m.