Множество m В пространстве j можно задать В виде объединения этих областей, Т. Е. Конституант. Графическим изображением указанного объединения является диаграмма Венна.

Множество M можно задать двоичным вектором длины 2ⁿ, в котором разряду соответствуют область с десятичным эквивалентом, равным . Вектор, определяющий множество M, представим в виде десятичного эквивалента

, (2.2)

Пространство J, в котором задано множество M, можно задать с помощью гиперкуба или n-мерного куба (n – размерность пространства, равная числу фиксированных множеств). Каждая вершина гиперкуба взаимно однозначно соответствует области пространства, и две вершины соединены ребром (имеющим общую границу). Сопоставленные этим областям двоичные векторы отличаются в одном и только одном разряде.

Множество M можно задать в виде двоичной таблицы, каждой строке которой взаимно однозначно соответствует конституанта. Множество строк таблицы линейно упорядочено по возрастанию десятичного эквивалента соответствующего двоичного набора. Столбцам соответствуют множества, образующие пространство, последний столбец сопоставляется множеству M, и единица указывает на вхождение соответствующей конституанты в множество M.

Пример 1. В трехмерном пространстве множество задано десятичным эквивалентом d(M)=217. Задать множество M: 1. двоичным вектором, 2. диаграммой Венна, 3. таблицей, 4. гиперкубом, 5. аналитическим выражением.

1. Для представления заданного множества M в виде двоичного вектора воспользуемся формулой (2.2), где коэффициент принимает значение 0 или 1, 2ⁿ – длина двоичного вектора (число разрядом), n – число множеств в пространстве J.

Так как , то n=3 и длина вектора равна . Тогда

Теперь необходимо подобрать коэффициенты принимающие значение 0 или 1, такие, что сумма в правой части записанного выражения была равна 217. В результате мы получим

217 = 1.2⁷+1.2⁶+0.2⁵+1.2⁴+1.2³+0.2²+0.2¹+1.2⁰.

Множество найденных коэффициентов и является двоичным вектором, т.е. V=(1,1,0,1,1,0,0,1).

Определить коэффициенты (компоненты вектора) можно с помощью правила перевода целых десятичных чисел в двоичные. Перевод осуществляется последовательным делением исходного числа (в нашем случае 217) и каждого частного на два. Получаемые при этом остатки (0 или 1), записанные в обратном порядке, дают представление десятичного числа в двоичной системе счисления (в нашем случае компоненты двоичного вектора). Используя указанное правило, будем иметь

т.е. V=(1,1,0,1,1,0,0,1).

2. Построение диаграммы Венна начинается с разбиения пространства J на 2ⁿ областей с помощью n фигур (замкнутых линий), где n – число различных множеств, входящих в J. При этом каждая последующая фигура должна иметь одну и только одну общую область с каждой из ранее построенных фигур. Такое разбиение называют символом Венна.

По условию задачи . Значит будем иметь областей. Здесь учитывается и внешняя область.

При n=1 пространство разбивается на две области (рис.2.1а). При этом общей областью пространства J и множества M является само множество M.

При n=2, т.е. пространство разобьется на 2ⁿ=2²=4 области. При этом множество должно быть так построено, чтобы оно имело одну общую область с ранее построенным множеством и пространством J. Результат показан на рис.2.1б. Здесь множество имеет одну общую область с множеством - область и одну общую область с пространством J – область . Области записываются в виде конституант, т.к. каждая из построенных областей является пересечением n=2 множеств, т.е. является конституантой.

При n=3, т.е. , пространство разобьется на областей. При этом множество должно быть так построено, чтобы оно имело только одну общую область с каждой из ранее построенных областей: и . Результат изображен на рис.2.1в. Тем самым построены символы Венна для n=1, n=2 и n=3. Аналогично строятся символы Венна и для других значений n.

Каждой из областей (конституант) можно сопоставить двоичный вектор W длины n, который представим в виде десятичного эквивалента d(c) по формуле (2.1).

С другой стороны, разряду двоичного вектора V соответствует область с десятичным эквивалентом, равным . Отсчет разрядов вектора ведется справа налево, причем крайний правый разряд считается нулевым разрядом. Тогда нулевому разряду вектора V будет соответствовать область (двоичный вектор W₀) с десятичным эквивалентом, равным нулю. Согласно формуле (2.1) будем иметь:

Определяя коэффициенты , которые ищутся также как и коэффициенты для вектора V, имеем

0 = 0.2² + 0.2¹ + 0.2⁰.

Тем самым мы определили двоичный вектор W₀ = (0,0,0), соответствующий рассматриваемой области. Учитывая, что компонента 0 () означает включение в пересечение (конституанту) множества , получаем, что вектору W₀ соответствует область (конституанта) . Рассматривая аналогично другие разряды двоичного вектора V и учитывая, что компонента 1 () означает включение в пересечение множества , определим все восемь областей (конституант):

.

Тогда, учитывая, что единица в двоичном векторе V означает включение соответствующей области в множество M, а нуль – исключение, построим диаграмму Венна. Заданное (отмечено штриховкой) множество M изображено на рис.2.2.

Рис.2.2