Таким образом, алгебра a является группой по умножению. И окончательно, Т. К. Выполняется закон коммутативности, алгебра

A = <M,x> является абелевой группой по умножению, нейтральным элементом является e = c, обратными элементами являются:

a^-1 = b, b^-1 = a.

Пример 3. Указать тип алгебры, которую образует множество натуральных чисел с заданной в нем операцией сложения.

Нам задан аддитивный группоид A = <N,+> и необходимо уточнить его тип.

В множестве натуральных чисел N справедлив коммутативный закон сложения:

m,n N m+n = n+m.

Значит, заданный группоид является абелевым.

В множестве N выполняется ассоциативный закон сложения:

m, n, p N (m + n)+p = m+(n + p).

Отсюда следует, что абелев группоид является абелевой полугруппой.

Множество натуральных чисел не имеет нейтрального элемента относительно операции сложения, а значит, и обратных элементов.

Таким образом, заданный аддитивный группоид A = <N,+> является абелевой полугруппой по сложению.

Пример 4. К какому типу относится алгебра A = <Z, >, являющаяся совокупностью множества целых чисел с заданной в нем операцией умножения.

В множестве целых чисел выполняются коммутативный и ассоциативный законы умножения. Значит, заданный мультипликативный группоид является абелевой полугруппой по умножению.

Нейтральным элементом e является 1, т.е. e=1, т.к.

m Z

Для m Z обратным элементом(m^-1) будет 1/m,

т.к.

Таким образом, заданная алгебра является абелевой группой по умножению.

Пример 5. Задана алгебра A = <M, +, x>, в которой M={ a,b,c}, а операции: аддитивная (+) и мультипликативная (x) заданы таблицами Кэли:

Показать, что M с заданными в нем операциями образует кольцо.

Из определения кольца следует, что алгебра должна быть по сложению абелевой группой. Проверим это. Распишем таблицу Кэли, соответствующую операции (+):

a + a = b, b + a = c, c + a = a,

a + b = c, b + b = a, c + b = b,

a + c = a, b + c = b, c + c = c.

Проверяем выполнение условия ассоциативности:

(a + b)+c = c + c = c, a+(b + c) = a + b =c, т.е. (a + b)+c = a+(b + c),

(a + c)+b = a + b = c, a+(c + b) = a + b =c, т.е. (a + c)+b = a+(c + b),

(b + a)+c = c + c = c, b+(a + c) = b + a =c, т.е. (b + a)+c = b+(a + c),

(b + c)+a = b + a = c, b+(c + a) = b + a =c, т.е. (b + c)+a = b+(c + a),

(c + a)+b = a + b = c, c+(a + b) = c + c =c, т.е. (c + a)+b = c+(a + b),

(c + b)+a = b + a = c, c+(b + a) = c + c =c, т.е. (c + b)+a = c+(b + a), и т. д.

Закон ассоциативности выполняется, значит, заданная алгебра является полугруппой по сложению.

Так как a + c=c + a=a, b + c=c + b=b, c + c = c, то элемент c является нейтральным элементом относительно операции сложения, т.е. e=c.

Операция (+) является аддитивной, следовательно, c является нулем.

Тогда обратными элементами элементов a, b будут: -a = b, -b = a, т. к. a + b = b + a = c и b + a = a + b = c.

Так как в полугруппе выполнима обратная операция, то она является группой.

Проверим свойство коммутативности:

a + b=c=b + a, a + c=a=c + a, b + c=b=c + b, т.е. указанное свойство выполняется.