Следовательно, группа является абелевой.

Заданная алгебра по умножению является мультипликативным группоидом. Для того, чтобы алгебра A = <M, +, x> была кольцом, осталось показать, что умножение связано со сложением законами дистрибутивности:

Для проверки выполнения этих законов распишем таблицу Кэли, соответствующую операции (x):

и воспользуемся разложением таблицей Кэли, соответствующей операции (+):

Законы дистрибутивности выполняются. Следовательно, заданная алгебра A = <M, +, x> является кольцом.

Под алгеброй множеств (алгеброй Кантора, булевой алгеброй множеств) понимают алгебру вида

,

где булеан – носитель алгебры, а сигнатура – операции объединения , пересечения и дополнения .

Для операций алгебры множеств выполняются следующие законы и свойства:

Коммутативность объединения и пересечения

, .

Ассоциативности объединения и пересечения

,

.

Дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения

,

.

Идемпотентности объединения и пересечения

5. Действия с универсальным J и пустым множествами

Де Моргана

, .

Двойного дополнения

.

Алгебра множеств по аддитивной операции объединения и мультипликативной операции пересечения является абелевой полугруппой.

Любая теорема алгебры множеств и, в частности свойства операций над множествами выводятся из первых трех законов и свойств:

,

Которые в свою очередь доказываются только в терминах отношения принадлежности.

Пример 6. Доказать закон

.

Для доказательства данного закона используем отношение принадлежности.

Пусть , тогда, согласно определению объединения множеств, или .

Если , то x принадлежит объединению с любым множеством, т.е. и , следовательно, по определению пересечения множеств .

Если , то и по определению пересечения множеств, следовательно, и , т.е. и в этом случае .

Тем самым доказано, что

.

Пусть , тогда и . Если , то x принадлежит объединению с любым множеством, т.е. .Если , то и . Это означает по определению пересечения множеств, что . Тогда x принадлежит объединению с любым множеством, т.е. . Тем самым доказано, что

В соответствии с определением равенства множеств приходим к требуемому закону

.

Пример 7. Доказать, что

.

Данное соотношение доказывается следующими преобразованиями:

Здесь в вертикальных скобках указаны свойства и законы, которые использовались при доказательстве.

Для доказательства законов и других теоретико-множественных соотношений часто используют круги Эйлера.

Пример 8. Доказать закон

С помощью кругов Эйлера.