Для доказательства строим отдельно области, соответствующие левой и правой частям данного выражения. Если построенные области совпадают, то закон считается доказанным.

На рис.1.1а показана область, соответствующая левой части выражения. Здесь вертикальная штриховка соответствует пересечению , а горизонтальная штриховка - M_a. Тогда вся заштрихованная область будет соответствовать объединению этих областей, т.е.

На рис.1.1б изображена область, соответствующая правой части выражения. Здесь вертикальная штриховка соответствует объединению , а горизонтальная штриховка - . Тогда область, в которой встречаются обе штриховки, будет соответствовать пересечению

а) б)

Рис.1.1

Сравнение полученных областей показывает, что они совпадают, т.е. закон доказан.

Примеры для самостоятельного решения

1. В трехэлементном множестве M = {a,b,c} аддитивная

Операция задана таблицей Кэли

Определить тип алгебры. Указать нейтральный и обратные

Элементы, если они существуют.

2. Дана группа A=<M, +>, где M={a, b, c, d, e, f}, а аддитивная операция задана таблицей Кэли

Является ли данная группа коммутативной? Какой элемент из M играет роль нейтрального элемента? Для каждого элемента из M определитель обратный элемент.

3. К какому типу относится алгебра A=<R, >, являющаяся совокупностью множества действительных чисел с заданной в нем операцией умножения.

Указать тип алгебры, которую образует множество целых чисел с заданными в нем операциями сложения и умножения.

5. На множестве M={a,b,c} заданы аддитивная и мультипликативная операции таблицами Кэли:

Показать, что M с заданными в нем операциями образует коммутативное тело. Для элементов из M определить нейтральные и обратные элементы относительно заданных операций. Заменить элементы a, b, c соответственно на числа 1,2,3 и истолкуйте заданные операции в числовом множестве.

Доказать закон дистрибутивности пересечения относительно объединения.

Доказать закон идемпотентности пересечения.

Доказать закон де Моргана

.

Доказать закон де Моргана

.

С помощью кругов Эйлера.

Доказать, что

.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВА

Множество M при фиксированных независимых подмножествах универсального множества J, т.е. можно задать в виде объединения конституант

,

где

называется первичным термом, а

,

называется конституантой.

Пояснение. Каждое фиксированное множество разбивает пространство J на две части: на собственно и на . При независимых множествах пространственно разбивается на = областей. Каждая область является пересечением n множеств или , . Этой области можно сопоставить двоичный вектор , в котором , если в конституанту входит и , если входит , а также десятичный эквивалент.

. (2.1)