Лінійні операції над векторами: означення і властивості.

 

Лінійними операціями над векторами називаються операції додавання та множення вектора на число (скаляр).

 

Проекція вектора на вісь. Властивості проекції.

 

- задано вектор

U – вісь

Знайдемо проекції точок А і В на вісь U, для цього через ці точки проведемо площини α та β перпендикулярні до осі U. Таким чином проекціями точок А і В будуть точки А₁ та В₁.

Векторною проекцією вектора на вісь U буде вектор

Позначають:

Проекцією або скалярною проекцією вектора на вісь U називають взятий зі знаком +, якщо вектор і вісь U спів напрямлені. Зі знаком -, якщо – протилежно напрямлені.

Властивості проекції вектора на вісь:

Напрямні косинуси вектора. Теорема про геометричний зміст координат вектора.

Теорема про геометричний зміст декартових прямокутних координат. Координати вектора в ДПКС дорівнюють проекціям цього вектора на відповідні координатні осі.

Нехай α, β та γ – це кути, які утворює вектор ā з координатними осями Ox, Oy та Oz відповідно. Тоді cosα, cosβ, cosγ називаються направними косинусами вектора ā. Згідно з попередньою теоремою:

 

 

 

6. Означення скалярного добутку 2-х векторів. Вираз скалярного добутку через координати.

Скалярним добутком двох векторів і називається число , що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Позначають: (, ) або

враховуючи, що

то маємо геометричний зміст скалярного добутку:

Властивості скалярного добутку 2-х векторів.

 

 

Означення векторного добутку 2-х векторів. Вираз векторного добутку через координати.

Властивості векторного добутку двох векторів.

 

 

10. Означення мішаного добутку 3-х векторів. Вираз мішаного добутку через координати.

 

 

 

 

11. Властивості мішаного добутку.

12. Означення перестановки, інверсії. Означення визначника n-го порядку.

 

 

Означення визначника n-го порядку. Формули обчислення визначників 2-го та 3-го порядку.

Властивості визначників.

Означення матриці. Нульова, одинична, діагональна матриці. Операція додавання матриць, множення матриці на число. Властивості цих операцій.

 

16. Операція транспонування матриці. Операція множення матриць. Властивості цих операцій.

Означення оберненої матриці. Критерій існування оберненої матриці. Теорема про визначник оберненої матриці. Знаходження оберненої матриці за допомогою алгебраїчних доповнень.

Теорема. Якщо визначник (det A) не дорівнює нулю, то матриця А має обернену:

, де |А|- визначник матриці А; J- матриця яка складається з алгебраїчних доповнень А_ij до елементів а_ij матриці А, а саме: