Означення рангу матриці. Теорема про базисний мінор. Методи знаходження рангу.

 

Рангом матриці А- називається найвищій з порядок її мінорів відміних від 0.
Познач: r(A), rang(A) або rank(A)
Мінор котрий дорівнює порядку матриці наз. базисам мінору.
Теорема про базисний мінор
Базисів рядки (стобці матр.) лінійно не залежні. До елементарних перетворень матриці належать:
1)перестановка рядків (стовбців)
2)множення порядку (стобця) на число відмінне 0.
3)додавання елементарних деякого порядка відповідних елем. Іншого рядка * на довільне число.
Теорема елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.
Метод Обчислення рангу.
Метод обвідних мінорів
Нехай в матриці А знайдено не 0 мінор к-того порядку. Розглянемо всі мінори (k+1) порядку які містять (обводять) мінор М. Якщо всі такі мінори дорівнюють 0 то ранг матриці А=k інакше існує не нульовий мінор (k+10першого порядку і процедура повторюються.
Метод елементарних перетворень.
За допомогою елементарних перетворень зводимо матрицю А до матриці В ранг якої легко знаходити тоді коли r(A)=r(B).

19. Означення векторного простору.

Множина ( L) будь-яких елементів наз. Дійсним векторним (лінійним) простором, якщо виконуються такі умови:
1)будь – яким двом елементам х, y із множини L поставимо у відповідність за деякими правилом z із L якій наз. сумою елементів x та y і позначаються z=x+y .
2)кожний елемент x із L та дійсному числу (Альфа) поставимо у відповідні U із L які наз. Добутком елементів x на число (альфа) і позначається U= (альфа) Х .
3)Оператор додавання та множини визначається у 1 та 2 задовольняє наступним умовам:

20. Означення лінійно – залежної, лінійно – незалежної системи векторів. Приклади

Означення: лінійною комбінацією елементів а11,ах…аn векторного простору L наз сума добутків цих елементів на довільні дійсні числа, тобто L1а1 +L2a2+…+Lnan lt Li належить R.

 

Альфа-L=1,2,3,4,5,….

Елементи a1,a2,….,an наз. Лінійно залежними якщо існують числа L1,L2,…Ln з яких хочаб одне не дорівнює 0 і виконується рівність L1a1+L2a2+….Lnan=0

 

Елемети a1,a2,….,an наз. Лінійно незалежними якщо рівність виконується тільки зі такої умови L1a1+L2a2+…+Lnan=0

 

21. Означення базису векторного простору. Координаті вектору в заданому базисі.

 

 

Упорядкована множина елементів l 1, l 2, l n називається базисний вектор простору L, якщо виконується наступні умови:

1) L i є L, будь-яке і = 1, 2, 3,... n

2) l 1, l 2,... l n лінійно незалежні

3) для будь якого х є L знайдеться лямба 1, лямба 2,... n такі що х= лямба 1 l 1 + лямба 2 l 2 +...+ лямба n l n (розклад вектора х по базису l 1, l 2,... l n, а коефіцієнти лямба 1 лямба 2 лямба n називаються координати вектору х у базисі l 1, l 2, l 3

Покажемо що координати вектору у заданому базисі визначені однозначно

1) одним з базисів векторного простору /R є система яка складається з { l 1 =1}

2) базис векторного простору /R^n є { l 1 = (1,0), l 2 = (0,1)}

3) /R^n є l 1=(1,0,0,0...0)

l 2=(0,1,0,0...0)

l n=(0,0,0,0...1)

4) Rn [x]:

l 1= 1

l 2= x

l 3= x^2

l n= x^(n-1)

l (n+1)= x^n

 

 

22. Приклади базисів. Вимірність векторного простору. Теорема про вимірність.

 

1. Одним з базисів векторного простору /R є система яка складается

2.Базисом векторного простору /R^2 буде упорядкована система

 

3./R^n

4. Базису простору M2(/R)

5.Базис простору

 

 

23. Матриця переходу від одного базису векторного простору до іншого. Властивості матриці переходу.

 

Матрицею переходу в -мірному просторі від базису до базису є квадратна матриця, стовпці якої — координати розкладу векторів в базисі.

оскільки

Матриця переходу це

 

Властивості матриці переходу.

1) Матриця переходу завжди не вироджена

2)Будь-яка не вироджена матриця є матрицею переходу від одного базису до деякого іншого.

 

24. Формули перетворення координат вектора при змінні базису(доведення).

 

Нехай координати ветора у першому базисі. координати ветора у другому базисі

 

де

 

 

 

 

матриця переходу від першого базису до другого.