Глава 5. Сложные суждения (высказывания). Семантическое построение логики суждений (логики высказываний)

§1 Общая характеристика логики суждений (высказываний) [30]

Логика суждений, или логика высказываний (ЛВ), есть базовый раздел современной (символической, математической) логики, в которой анализируются умозаключения, содержащие сложные суждения (высказывания), посредством выявления их логической формы с использованием искусственного символического языка и применения математических методов.

В ЛВ анализируются не просто суждения как мысли, а анализируются высказывания, т.е. повествовательные предложения, которые выражают ровно одно суждение. Этим достигается бόльшая точность и определенность в трактовке суждений как особой формы мышления.

Построение ЛВ опирается на следующие принципы.

1) На принцип двузначности. Этот принцип означает, что любое высказывание в ЛВ может принимать одно из двух возможных для него истинностных значений, т. е. быть истинным либо быть ложным.

2) На принцип функциональности. Этот принцип означает, что истинностное значение сложного высказывания есть функция от истинностных значений высказываний, входящих в него.

Под функцией в математике понимают закон либо правило, согласно которым каждому предмету либо n-ке предметов из некоторого исходного множества U ставится в соответствие один предмет из этого либо другого множества. Функции делятся по местности на одноместные, двухместные, трёхместные и в общем случае на n - местные. Местность функции определяется числом её аргументных мест, которые в знаковой записи функции представляются независимыми переменными x₁, x₂, …, x_n.

Знаковая запись одноместной числовой функции имеет вид:

y = f(x₁), где x₁ есть независимая числовая переменная, представляющая одно аргументное место, область значения которой, т.е. множество U, есть множество натуральных чисел, f есть функтор, т.е. некоторая математическая операция, например операция возведения натурального числа из U, подставленного на аргументное место x₁, в степень 2, y есть зависимая переменная, представляющая значение функции, которая также принимает значение на множественатуральных чисел. Конкретно в теории чисел такую функцию представляет, например, равенство y = x²₁.

Соответственно в теории натуральных чисел арифметические равенства вида y=x₁+x₂ следует записать в виде двухместной арифметической функции y = f(x_1, x₂₎, где f – операция сложения, x_1, x₂ – независимые переменные, представляющие аргументные места, которые заполняются парами натуральных чисел из множества U.

Применение принципа функциональности в ЛВ означает следующее. Посылками умозаключений ЛВ являются не только простые, но и сложные высказывания. При этом в ЛВ возникает потребность установить (вычислить) истинностное значение сложного высказывания в зависимости от истинностных значений простых высказываний, представляющих на письме пропозиции – простые повествовательные предложения, из которых состоит сложное высказывание. И поскольку сложные высказывания образуются из простых посредством соединения их пропозициональными связками (союзами), то это позволяет рассматривать истинностное значение сложного высказывания как функцию от истинностных значений простых высказываний, рассматривая в качестве функторов пропозициональные связки. Такие функции в ЛВ называются истинно-истинностными пропозициональными функциями. Истинно-истинностными пропо-зициональными функциями они называются потому, что в них на аргументные места вместо независимых пропозициональных переменных, пробегающих по простым пропозициям – простым повествовательным предложениям, подставляются абстрактные объекты истина либо ложь из двухэлементного множества U, где U = {И, Л}. При этом данные функции также принимают значение на множестве U. В отличие от математических эти функции являются логическими.

В практической части ЛВ выделяют пять двухместных и одну одноместную пропозициональные функции, которые составляют основу ЛВ, поэтому ЛВ по-другому называют пропозициональной логикой.

Как отмечают В.А. Бочаров и В.И. Маркин, «логика высказываний (пропозициональная логика) – это логическая теория, язык которой содержит один тип нелогических символов – пропозициональные переменные, а также один тип логических символов – пропозициональные связки» (4, с. 32).

При этом в ЛВ выделяют следующие пропозициональные связки: конъюнкцию – «» (читается «… и …»), неисключающую дизъюнкцию – «» (читается «… или …»), исключающую дизъюнкцию – «» (читается «… либо …»), импликацию – «» (читается «если… то …»), эквиваленцию – «» (читается «…тогда и только тогда, когда…» («…если и только если…»). Эти связки называются бинарными, потому что они связывают две пропозициональные переменные. Поэтому они представляют в ЛВ двухместные функции вида y = f(x_1, x₂), где значение функции y представляет истинностное значение сложного высказывания, функтор f – бинарную пропозициональную связку, а x_1, x₂ – пару истинностных значений простыхвысказываний, из которых состоит сложное высказывание. Так, например, если мы имеем истинное простое высказывание «8 делится на 2» и истинное простое высказывание «8 делится на 4», то, применяя к ним бинарную пропозициональную связку «конъюнкция», мы получаем истинное сложное высказывание «8 делится на 2, и 8 делится на 4». Соответственно, если мы имеем истинное простое высказывание «8 делится на 2» и ложное простое высказывание «9 делится на 2», то, применяя к ним бинарную пропозициональную связку «конъюнкция», получаем ложное сложное высказывание «8 делится на 2, и 9 делится на 2».

Нетрудно видеть, что в данных примерах приписывание истинностного значения сложным высказываниям определяется следующим фрагментом двухместной пропозициональной функции вида y = f(x_1, x₂):

И (И, И)

Л (И, Л)

Этот фрагмент показывает, что в первой строке двухместная пропозициональная связка «конъюнкция», которая выполняет роль функтора, ставит в соответствие паре абстрактных объектов – И, И из множества {И, Л} абстрактный объект – И, а этот же функтор во второй строке ставит в соответствие объектам И, Л абстрактный объект Л.

Кроме того, в практической части ЛВ используется одна унарная пропозициональная связка – отрицание – «» (читается «неверно, что…»). Она называется унарной, потому что применяется к одной пропозициональной переменной. Данная пропозициональная связка выражает одноместную пропозициональную функцию вида y = f(x₁).

Ниже мы введем в язык ЛВ метапеременные, к которым также применимы вышеперечисленные пропозициональные связки, и полностью в обобщенном виде представим выражения, имеющие место в ЛВ.

3) На принцип атомарности. Этот принцип означает, что в ЛВ при анализе рассуждений отвлекаются от внутренней структуры простых высказываний и рассматривают их как некоторые бесструктурные образования, аналогично тому, как в физике на определённом этапе развития её теории рассматривались атомы как элементарные (далее неделимые, бесструктурные) мельчайшие частицы вещества. На основе этой аналогии в ЛВ простые высказывания иногда называют атомарными, или атомами, а сложные – молекулярными, или молекулами (см.15, с. 13).

При таком подходе для выяснения логичности рассуждения (умозаключения) достаточно лишь знать семантику (смысл) пропозициональных связок, что будет продемонстрировано ниже.