Основные законы общей логики

В общей логике, как и в ассерторической логике в целом, в качестве основных законов целесообразно выделить два закона: закон противоречия и закон исключенного третьего.

2.1. Закон противоречия

Этот закон фиксирует в рассуждениях противоречия и обосновывает норму непротиворечивости мышления. Как отмечают Е.К. Войшвилло и М.Г. Дегтярев, этот закон сформулировал еще Аристотель в полемике против софистов (9, с. 28), которые полагали, что как утвердительные, так и отрицательные суждения, которые высказывают люди, в силу возможной гибкости человеческого мышления можно обосновать в качестве истинных, так что ложные суждения в принципе не существуют. На это Аристотель ответил законом противоречия, согласно которому для любых двух суждений, в одном из которых нечто утверждается, а в другом то же самое отрицается, по меньшей мере одно суждение является ложным.

Очевидно, что закон противоречия формулируется в языке в виде номологического суждения, необходимую истинность которого убедительно демонстрирует логический квадрат.

Так, в ЛК суждения, находящиеся в отношении контрадикторности, таковы, что то, что утверждается в суждении А, отрицается в О, ибо суждение вида О: «Некоторые S не есть P» равнозначно суждению: «Неверно, что все S есть P», т.е. суждению не - А. Равным образом суждение вида I: «Некоторые S есть P» равнозначно суждению вида «Неверно, что ни один S не есть P», т.е. равнозначно суждению не-E. Таким образом, в ЛК суждения, находящиеся в отношении контрадикторности, таковы, что одно из них с необходимостью является ложным.

Второй случай проявления закона противоречия, т.е. когда оба суждения являются ложными, может демонстрировать в ЛК отношение контрарности, в котором находятся суждения А и Е. Ведь, с одной стороны, логическую форму Е: «Ни одни S не есть P» можно истолковывать как отрицание того, что утверждает логическая форма А: «Все S есть P», а с другой стороны, как известно, суждения А и Е могут быть оба ложными.

Известно также, что Аристотель дал еще онтологическую формулировку закона противоречия. В реконструированном виде, т.е. ввиде номологического суждения, этот закон гласит, что для любого предмета верно, что нельзя о нем в одно и то же время и в одном и том же смысле (отношении) нечто утверждать и отрицать, не впадая в ложь и противоречие.

Эта формулировка закона противоречия позволяет отличить реальное логическое противоречие, выражаемое сложным суждением вида «А и не-А», от его внешней квазипротиворечивой лингвистической формы вида «А и не-А».

Так, например, не будет представлять логическое противоречие сложное суждение (1): «Иванов не знает немецкий язык, и Иванов знает немецкий язык» в следующих случаях:

1) Если утверждение и отрицание относятся в этом суждении к разным людям по фамилии Иванов, тогда суждение (1) будет истинным:

2) Если утверждение и отрицание в этом суждении относятся к одному и тому же Иванову, но в разное время. Тогда сложное суждение (1) также является истинным.

3) Если утверждение и отрицание в этом суждении относятся к одному и тому же Иванову в одно и то же время, но в разных смыслах словосочетания «знать немецкий язык», то суждение (1) по-прежнему будет истинными.

Первый смысл «знать немецкий язык» – это значит, например, понимать общий смысл статьи немецкой газеты.

Второй смысл «знать немецкий язык» – это значит свободно участвовать в диалоге на немецком языке с лицом, для которого немецкий язык является родным.

Понятно, что в противном случае, т.е. когда утверждение и отрицание в суждении (1) делаются об одном и том же Иванове в одно и то же время и в одном и том же смысле, это значит, что сложное суждение (1) будет ложным. Таким образом, в данном случае мы имеем дело с логическим противоречием.

В современной логике закон противоречия выражается в объектном языке формулой (p ˄p), а в метаязыке – формульной схемой (А ˄А), где «» читается «неверно, что…», «˄» – читается как «и», переменная «р» может обозначать какое-то простое суждение, а переменная «А» – произвольное, т.е. как простое, так и сложное, суждение.

В итогеформула (p ˄p), а также формульная схема (А ˄А) имеют следующие прочтения:

1) (p ˄p) читается как «неверно, что р и не - р».

2) (А ˄А) читается как «неверно, что А и не - А».

Прочтению формулы (p ˄p) соответствует формулировка закона противоречия в виде следующего номологического суждения (1): для всякого простого суждения р верно, что сложное суждение p ˄p является ложным. Соответственно для прочтения формульной схемы (А ˄А) имеем номологическое суждение (2): для всякого произвольного (как простого, так и сложного) суждения верно,что сложное суждение А ˄А является ложным. Необходимая истинность суждений (1) и (2) устанавливается, как мы покажем ниже, построением таблицы истинности для формулы (p ˄p).

Рекомендуем читателю вернуться к осмыслению формулировок закона противоречия в виде номологических суждений (1) и (2) послепрочтения §6 Главы 5 Построение таблиц истинности для формул ОЯЛВ как разрешающая процедура для ЛВ.

Обратим внимание на то, что сложные противоречивые суждения вида р и не - р, а также А и не - А являются ложными, а как мы уже знаем, из противоречия (лжи) следует все что угодно. Поэтому противоречия и, следовательно, ложь нужно устранять из рассуждений. Там образом, закон противоречия обязывает рассуждающего принять принцип непротиворечия для обеспечения логически корректных рассуждений, в силу чего этот закон иногда называют «законом непротиворечия».

2.2. Закон исключенного третьего (tertium non datur)[29]

Этот закон обеспечивает определенность нашего (человеческого) мышления. Как отмечают Е.К. Войшвилло и М.Г. Дегтярев, данный закон также впервые сформулировал Аристотель в полемике с философами-релятивистами Гераклитом, Кратилом и их последователями (9, с. 27 – 28).

Согласно Гераклиту и Кратилу, в мире все относительно и вообще нет ничего определенного. Известно, что Гераклит утверждал, что «в одну и ту же реку нельзя войти дважды», а Кратил утверждал, что «в нее нельзя войти и единожды», так как по мере вхождения в реку нас омывают все новые и новые потоки воды.

Отсюда, согласно релятивистам, любое суждение об изменчивом мире будет ложным. На это Аристотель возразил формулировкой закона исключенного третьего: из двух суждений, одно из которых является отрицанием другого, одно суждение будет необходимо истинным.

Этот закон можно представить в следующей более полной формулировке: два суждения, одно из которых является отрицанием другого, не могут быть вместе истинными и не могут быть вместе ложными; одно из них необходимо истинно, другое ложно, третьего не дано. Или в более краткой формулировке: для любого суждения А истинно либо само А, либо его отрицание. Эта формулировка закона указывает, что в вышеописанной ситуации для поиска истинного суждения не надо формулировать третье суждение («tertium non datur» – означает третьего не дано), а нужно его выбрать из пары суждений вида А, не-А. Естественно, что, сделав такой выбор, мы придаем определенность нашему мышлению.

Однако речевая практика не всегда предоставляет нам такую возможность.

Так, например, если мы полагаем, что:

А: N вчера в 10.00 был в университете, или

В: N вчера в 10.00 был дома, то

это не значит, что тем самым исключена для N третья возможность. Например, N вчера в 10.00 мог быть в шахматном клубе, и именно третье суждение С: «N вчера в 10.00 был в шахматном клубе» может оказаться истинным, а суждения А, В – оказаться ложными.

Таким образом очевидно, что сложное суждение вида «А или В» не выражает требование закона исключенного третьего в понимании Аристотеля, в то время как сложное суждение «N вчера в 10.00 был в университете, или N вчера в 10.00 не был в университете» будет выражать требование этого закона, так как оно имеет логическую форму «А или не-А».

Данный закон убедительно демонстрируют отношения контрадикторности в логическом квадрате, отношения контрадикторности между суждениями А, О; Е, I, где О следует понимать как не-А, а I – как не-Е, что в итоге образует сложные суждения вида «А или не-А», «Е или не-Е», которые подчиняются закону исключенного третьего.

Адекватным аналогом закона исключенного третьего в современной (символической, математической) логике является формула p p либо формульная схема А А, что позволяет сформулировать закон исключенного третьего в виде следующего номологического суждения: для любого суждения верно, что необходимо истинно либо оно само, либо его отрицание. Ниже мы также покажем, что необходимая истинность сложных суждений с логической формой p p устанавливается построением таблиц истинности для формулы p p. Мы также рекомендуем читателю вернуться к осмыслению закона исключенного третьего после прочтения §6 Главы 5 Построение таблиц истинности для произвольных формул ОЯЛВ как разрешающая процедура для ЛВ.

Закон исключенного третьего получил широкое применение в классической математике при доказательстве теорем существования методом рассуждения от противного по следующей схеме: если доказывается существование некоторого математического объекта, то сначала допускается суждение о его несуществовании в виде суждения не-А и затем из этого допущения выводится противоречие в виде сложного суждения В и не-В, которое является ложным. Это суждение, будучи выводимым из допущения не-А и других истинных суждений математики по корректным правилам вывода, свидетельствует о том, что данное рассуждение корректно лишь при ложном не-А. Таким образом, установив ложность не-А, далее по закону исключенного третьего получаем истинность А, т.е. доказываем, что данный математический объект существует.

Как известно, голландский математик Л. Брауэр (1881 – 1961) подверг сомнению неограниченную применимость в математических рассуждениях закона исключенного третьего, показав, что этот закон выполняется только на конечных множествах объектов и не выполняется на бесконечных множествах объектов.

Тем не менее выдающийся немецкий математик Д. Гильберт отстаивал принципиальную необходимость применения закона исключенного третьего в классической математике, подчёркивая методологическую важность этого закона следующей аналогией: «Отнять у математиков закон исключенного третьего – это то же самое, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками». Идея неуниверсальности закона исключенного третьего также отстаивалась в трудах русского логика Н.А. Васильева (1880 – 1940), вышедших под названием «Воображаемая логика» (7). Однако эта проблема, как нетрудно понять, является проблемой теоретической, а не практической логики. Ведь на эмпирическом уровне люди имеют дело с конечными множествами объектов, поэтому в рамках практической логики методологическая важность закона исключенного третьего ничем не ограничивается.