Искусственный символический язык ЛВ как средство выявления логической формы рассуждения

В современной логике особое внимание уделяется точности языка, на котором формулируется логическая теория. В связи с этим при построении логики высказываний учитываются два вывода, к которым пришли современные логики на основе анализа исторического пути развития логики.

Первый вывод: естественный язык в силу отсутствия в нем точных синтаксических правил, т.е. правил образования сложных выражений языка из простых, не может полностью репрезентировать точную логическую теорию. Для этого нужно создать искусственный символический язык с точными синтаксическими и семантическими правилами, который бы строго следовал за логической формой рассуждения.

Второй вывод: при построении логической теории следует гарантировать невозможность появления в ней семантического парадокса (противоречия) типа Лжеца.

Воспроизведем этот парадокс по версии С. Клини в реконструированном виде (15, с. 223 – 224). Однажды критский (жил на острове Крит) философ Эпеменид высказал суждение: «Все критяне – лжецы» и задумался о его истинностной оценке, которая вытекала из его следующего рассуждения. «Допустим – рассуждал Эпеменид, – что это высказывание истинно. Но тогда если учесть, что все критяне лжецы и то, что я критянин, то высказанное суждение следует считать ложным. А если допустить, что оно ложно, то тогда следует его считать истинным, ибо, когда лжец высказывает ложь, то он высказывает истину».

Несмотря на всю простоту формулировки, парадокс такого типа таил большую угрозу разрушения логической теории. Долгое время математики и логики не имели в своем распоряжении системного способа блокирования данного противоречия в рассуждениях. И лишь в 1934 г. польский логик А. Тарский в своей работе «Понятие истины в формализованных языках» предложил простой системный метод, предохранявший логическую теорию от появления в ней парадокса типа Лжеца. Для этого он предложил в любом языке различать два языка: объектный язык и метаязык.

Объектный язык – это язык, на котором формулируются высказывания, несущие информацию о внеязыковой реальности, т. е. о мире. Соответственно метаязык – это язык, который не несет информацию о мире, а несёт информацию о другом языке, который он описывает.

Примеры объектного языка и метаязыка.

Пусть на странице 54 учебника немецкого языка, написанного для русскоязычных студентов, мы читаем высказывание (1): «Dieser Stuhl ist klein», а несколько ниже читаем высказывание (2): «Предложение «Dieser Stuhl ist klein» имеет прямой порядок слов».

Очевидно, что высказывание (1), написанное по-немецки, несет информацию о мире и, таким образом, принадлежит объектному языку, в то время как высказывание (2) не несёт информацию о внеязыковойреальности, а сообщает нам информацию о свойствах некоторого предложения немецкого языка и поэтому принадлежит метаязыку.

Мы уже знаем, что логичность рассуждений зависит от их логической формы, а не от конкретного содержания. В связи с этим в современной логике для выявления логических форм рассуждений строится искусственный символический язык и задаются средства метаязыка, позволяющие в более общем виде выявлять логические формы рассуждений и обеспечивать их содержательное понимание.

Опишем теперь искусственный символический язык ЛВ. Как известно, построение любого языка начинается с задания его алфавита.

Под алфавитом языка во всех языках понимается конечное множество исходных простых символов.

В соответствии с этим зададим алфавит объектного языка ЛВ (АОЯЛВ) в виде следующего множества исходных символов:

АОЯЛВ = {p, q, r, s (пропозициональные переменные); , , , , , (пропозициональные связки; (,) (вспомогательные технические символы)}[31].

Пропозициональные переменные – это переменные, которые относятся к категории нелогических терминов, область значения которых при интенсиональном (содержательном) подходе есть множество простых суждений (высказываний), а при экстенсиональном подходе есть двухэлементное множество {И, Л}. Пропозициональные связки есть логические термины, посредством которых с синтаксической точки зрения из логических форм простых суждений (высказываний) образуются логические формы сложных суждений (высказываний), а с семантической точки зрения они обозначают истинно-истинностные пропозициональные функции, т.е. логические функции.

Вспомогательные технические термины (левая «(» и правая «)» скобки) употребляются для однозначного прочтения логических форм высказываний, выявленных при формализации сложных высказываний, что обеспечивает объектному языку статус точного языка.

Символическийобъектный язык работает по аналогии с естественным языком. Аналогично тому, как в естественном языке из букв образуются слова, а из слов предложения, в искусственном объектном языке из логических форм простых высказываний (из пропозициональных переменных) в результате их соединения пропозициональными связками образуются логические формы более сложных высказываний. При этом каждый шаг образования более сложного выражения объектного языка для однозначного прочтения этого более сложного выражения объектного языка необходимо заключать в круглые скобки, зарезервированные в АОЯЛВ под названием «вспомогательные технические знаки». Если этого не делать, то возникнет неоднозначность прочтения сложного выражения объектного языка ЛВ, что лишает его статуса точного языка.

Пример. Рассмотрим сложное выражение объектного языка ЛВ, построенного без употребления скобок, и две возможности расстановки в нем скобок, обеспечивающих ему различные прочтения.

 

Рис.1

Так, при расстановке скобок в верхней строке полученное выражение формально читается как «если p и q, то r», а при расстановке скобок в нижней строке оно читается как «p и если q, то r», т. е. оно имеет иной логический смысл, чем в первой строке.

Для большей структурной прозрачности выражений ОЯЛВ в ЛВ принимается соглашение об опускании внешних скобок.

Окончательный статус точного языка язык ЛВ приобретает в результате фиксирования в нем всех средств метаязыка и формулирования для языка ЛВ точных синтаксических и семантических правил.

В метаязыке ЛВ фиксируются следующие категории символов:

1) метапеременные: А, В, С, D

2) пропозициональные связки: , , , , ,

3) некоторый фрагмент обычного естественного языка

4) вспомогательные технические знаки: (,)

Метапеременная – это переменная, область значения которой при интенсиональном подходе есть множество произвольных (как простых, так и сложных) высказываний, а при экстенсиональном подходе её область значения есть:

1) множество формул ОЯЛВ;

2) двухэлементное множество {И, Л}.

В метаязыке осуществляется изложение теории ЛВ посредством описания свойств объектного языка ЛВ. Эта задача предполагает, во-первых, в обобщенном виде делать утверждения о свойствах выражений объектного языка. Для выполнения этой задачи в метаязыке оперируют не формулами, а формульными схемами, т.е. выражениями вида(А В) В, где вместо А, В можно подставлять любые формулы ОЯЛВ. Например, данная формульная схема может в результате указанной подстановки превратиться в следующие формулы:

1.

2.

3.

4.

Поскольку в ЛВ не накладываются ограничения на длину формул, то очевидно, что формульная схема обобщает бесконечное множество формул ОЯЛВ.

Далее, поскольку в метаязыке делаются содержательные (имеется в виду логическое содержание) утверждения о свойствах выражений объектного языка, которые должны быть понятны пользователю языка, то в нем должен использоваться некоторый фрагмент естественного русского языка, в случае если теория ЛВ излагается для русскоязычных студентов. Как отмечает английский логик Р. Столл, если естественный язык использовать в полном объеме, то возникает опасность возможности вывода его средствами парадоксов (противоречий) типа парадокса Рассела (см.21, с. 184). Поэтому в метаязыке мы резервируем лишь некоторый фрагмент русского языка, а не весь русский язык (см.п.3 категорий символов метаязыка).

Ниже мы будем использовать средства метаязыка при формулировании в предельном обобщении (в виде формульных схем) наиболее употребительные в практике рассуждений законы ЛВ, а также при определении синтаксических и семантических правил языка ЛВ.

В заключение объясним, почему мы зарезервировали только четыре символа: p, q, r, s для пропозициональных переменных и столько же – A, B, C, D для метапеременных. Объяснение простое. Этих переменных, как правило, оказывается достаточно для формализации рассуждений, возникающих в практике аргументации. Если же всё-таки в практике рассуждений возникнет потребность в увеличении числа переменных, то буквы p, q, r, s и, соответственно, A, B, C, D можно индексировать. Например, мы можем использовать p от p₁ до p_n; А от А₁ до А_n, где n пробегает по натуральному ряду чисел, начиная с числа 2.