Рассмотрим матрицу специального вида

в которой все «диагональные элементы» отличны от нуля, а все элементы расположенные ниже диагональных, равны нулю. Такую матрицу будем называть трапециевидной. При r = n она будет треугольной.

 

Теорема 2. Ранг трапециевидной матрицы равен числу ее ненулевых строк.

 

Теорема 3. Всякую матрицу можно с помощью конечного числа элементарных преобразований привести к трапециевидному виду.

 

Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении матрицы к трапециевидному виду и в подсчете ее ненулевых строк.

 

Пример 3

Найти ранг матрицы .

Решение

~ ~

На первом шаге первую строку матрицы умножили на (-2) и сложили со второй строкой, умножили первую строку на (-4) и сложили с третьей строкой. На втором шаге вторую строку умножили на (-3) и сложили с третьей строкой. Нулевую строку вычеркнули. Таким образом, ранг матрицы r = 2.

 

Метод Гаусса решения СЛАУр

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУр)

 

 

Поставим задачу: исследовать данную систему, т.е. выяснить, не решая ее, совместна она или несовместна, а если совместна, то определенна она или неопределенна.

На все эти вопросы отвечает теорема Кронекера - Капелли.

Пусть дана матрица системы .

Рассмотрим расширенную матрицу системы

.

 

Теорема Кронекера – Капелли.

СЛАУр совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы:

или .

Замечание

Если и , где n – число неизвестных, то система определенна; если , то система неопределенна, если же , то система несовместна.

Метод Гаусса решения СЛАУр состоит в следующем.

 

1. Выписывают расширенную матрицу системы

и с помощью элементарных преобразований приводят ее к трапециевидному виду.

2. Применяя теорему Кронекера – Капелли, исследуют систему, получая один из случаев:

­– система совместна и определенна,

– система совместна и неопределенна,

– система несовместна.

Трапециевидная форма расширенной матрицы С в каждом из этих случаев имеет вид:

 

1) С ~ , ,

следовательно, система определенна, имеет единственное решение,

 

2) С ~ ,

следовательно, система неопределенна, имеет бесконечное множество решений,

 

3) если какая-либо строка матрицы С имеет вид , то система несовместна (решений нет).

 

3. Для решения системы, если оно существует, следует записать новую систему, отвечающую полученной трапециевидной матрице, которая является более простой по сравнению с исходной и решить ее (обратный ход).

 

Пример 4

Исследовать и решить СЛАУр: .

Решение

Составим расширенную матрицу и проведем над ней эквивалентные преобразования для определения и .

 

~ ~

~ ,

 

Таким образом, , следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система совместна и определенна.

Составим систему, соответствующую последней матрице, эквивалентную исходной:

Þ .

 

Таким образом, .

 

Пример 5

Исследовать и решить СЛАУр: .

Решение

~ ~

Так как , следовательно, система совместна и неопределенна (имеет бесчисленное множество решений).

Последней матрице соответствует система:

Þ

где и – произвольные параметры.

 

Пример 6

Исследовать и решить СЛАУр:

Решение

 

~ ~

Так как , то система несовместна (решений нет).

 

Пример 7

Исследовать и решить СЛАУр: .

Решение

 

 

Таким образом, .