Y - зависимая переменная (результативный признак),

x₁, x₂,..., х_m – независимые, объясняющие, переменные (признак-факторы),

ε - возмущение или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных в модели факторов.

Основные типы функций, используемые при количественной оценке связей:

Линейная функция: y=a₀+а₁ x₁ +а₂ x₂ +,..., +а_m х_m;

Параметры а₁ , а_2,… а_m называются коэффициентами «чистой» регрессии и характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Нелинейные функции: y=a x₁^b₁x₂^b₂ ... х_m ^b _m –степенная функция;

b₁,b₂,…,b_m - коэффициенты эластичности; показывают на сколько % изменится в среднем результат при изменении соответствующего фактора на 1% и при неизменности действия других факторов.

Обозначим:

X - прямоугольная матрица наблюдений независимых переменных размерностью n (n - число наблюдений) на (m +1) - число оцениваемых коэффициентов, включая свободный член.

- вектор наблюденных значений зависимой переменной размерностью n.

- вектор искомых оценок коэффициентов регрессии размерностью (m + 1).

Для нахождения МНК – оценок коэффициентов регрессии, как и прежде, минимизируют остаточную сумму квадратов:

Истинное значение коэффициента регрессии отличается от его оценки. Может иметь место случай, когда оценка отличается от нуля, хотя истинное значение коэффициента равно нулю. В этом случае x_i не влияет на выход, а про коэффициент b_i говорят, что он незначимо отличается от нуля. Незначимые коэффициенты исключают из уравнения регрессии, а оставшиеся оценки пересчитывают.

Сводка формул для множественной регрессии:

Оценка коэффициента множественной детерминации

где ∆ и ∆₁ – определители матрицы парных коэффициентов корреляции и расширенной матрицы парных коэффициентов корреляции.

.

F – критерий значимости уравнения в целом

t – критерий значимости коэффициентов регрессии

 

После определения точечных оценок коэффициентов теоретического уравнения регрессии могут быть рассчитаны интервальные оценки коэффициентов. Доверительный интервал, накрывающий с доверительной вероятностью =1−α неизвестное значение параметра , определяется неравенством

Здесь

Проще всего провести построение множественной регрессии с помощью с помощью инструмента анализа данных Регрессия. Для этого выполняют команду Сервис-Анализ данных-Регрессия-OK.

 

Задание 1. В табл. 4.1 приведены данные за 11 дней о курсе доллара (x₁ руб.), фондовом индексе (x₂) и котировке акций (y, ден. ед.).

 

 

Таблица 4.1

Требуется:

1) построить уравнение множественной линейной регрессии и дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения;

2) оценить стандартную ошибку регрессии и стандартные ошибки коэффициентов;

3) построить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, соответствующие доверительной вероятности ;

4) оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t -критерия при уровне значимости ;

5) оценить на уровне 0,05 полученное уравнение на основе коэффициента детерминации и F - критерия Фишера;

6) сделать выводы по качеству построенной модели.

Метод исключения в проверке спецификации модели

При выборе формы спецификации модели первоначально рассматривается уравнение множественной линейной регрессии

y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + …+ β_nx_n + ε (1)

Для перехода к адекватной форме модели далее применяется алгоритм пошагового регрессионного анализа методом исключения переменных. При этом выполняются следующие действия:

· строится регрессионная модель методом наименьших квадратов;

· оценивается значимость коэффициентов регрессии;

· выявляется наличие зависимости между факторными признаками путем анализа матрицы парных коэффициентов корреляции и матрицы частных коэффициентов корреляции;

· строится новое уравнение регрессии с исключением незначимых и части взаимно коррелирующих переменных. При этом из числа коррелирующих переменных в модели оставляют те, которые более соответствуют ее экономическому содержанию, либо те, которые имеют наибольшее значение частной корреляции с зависимой переменной.

Задание 2.

Имеются следующие данные по 20 сельскохозяйственным районам:

Y – урожайность зерновых культур (ц/га);

X₁ – число колесных тракторов (приведенной мощности) на 100 га;

X₂ – число зерноуборочных комбайнов на 100 га;

X₃ – число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га;

X₄ – количество удобрений, расходуемых на гектар;

X₅ – количество химических средств оздоровления растений, расходуемых на гектар.

Требуется провести пошаговый регрессионный анализ урожайности Y на основе исходных данных (табл. 1)

Таблица 1

Исходные данные

 

№	Y	X1	X2	X3	X4	X5
	9.7	1.59	0.26	2.05	0.32	0.14
	8.4	0.34	0.28	0.46	0.59	0.66
	9.0	2.53	0.31	2.46	0.3	0.31
	9.9	4.63	0.4	6.44	0.43	0.59
	9.6	2.16	0.26	2.16	0.39	0.16
	8.6	2.16	0.3	2.69	0.32	0.17
	12.5	0.68	0.29	0.73	0.42	0.23
	7.6	0.35	0.26	0.42	0.21	0.08
	6.9	0.52	0.24	0.49	0.2	0.08
	13.5	3.42	0.31	3.02	1.37	0.73
	9.7	1.78	0.3	3.19	0.73	0.17
	10.7	2.40	0.32	3.3	0.25	0.14
	12.1	9.36	0.4	11.51	0.39	0.38
	9.7	1.72	0.28	2.26	0.82	0.17
	1.0	0.59	0.29	0.6	0.13	0.35
	7.2	0.28	0.26	0.3	0.09	0.15
	8.2	1.64	0.29	1.44	0.2	0.08
	8.4	0.09	0.22	0.05	0.43	0.2
	13.1	0.08	0.25	0.03	0.73	0.2
	8.7	1.36	0.26	1.17	0.99	0.42

 

Указание: для окончательного выбора модели воспользуйтесь критерием Фишера в отношении коэффициентов сравниваемых спецификаций. Для этого рассчитывают статистику

Здесь используются коэффициенты детерминации из регрессии первоначальной (неогр) и регрессии с исключенными переменными (огр), причем q – число исключений, n – число наблюдений, p – число факторов в исходной регрессии. Находят табличное (критическое) значение F _табл со степенями свободы q и n - p – 1. Если F _факт > F _табл, то нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной: имеющиеся данные противоречат гипотезе об эквивалентности моделей.

 

 

2-й учебный вопрос. Основы обработки данных в GRETL

Подготовка данных в Excel для импорта в GRETL

Создайте новую рабочую книгу Excel. Убедитесь, что все импортируемые данные расположены на одном листе с названием без символов кириллицы или со стандартным названием (Лист1 для русифицированной версии Excel). Данные должны быть размещены в столбцах (или строках) без пропусков ячеек. Не допускайте также объединения ячеек импортируемого столбца (строки).

В первой ячейке столбца (строки) укажите имя переменной (без символов кириллицы), которое понадобится для импорта данного столбца (строки) в G RETL. Желательно сразу указывать такие имена рядов данных, по которым можно будет легко идентифицировать импортируемую переменную в дальнейшем при работе с ней в GRETL.

Установите формат импортируемых ячеек на «Общий», проверьте отсутствие нечисловых значений в ячейках: текста, значений со знаком процента «%» и т.п.

Сохраните рабочую книгу Excel в формате Excel с именем файла без символов кириллицы.