Использование данного принципа гарантирует, что управление, выбранное на любом шаге, не локально Лучше, А Лучше с точки зрения процесса в целом.

Прикладные задачи динамического программирования. Принцип оптимальности и уравнение Беллмана.

Задача №4. Распределение инвестиций между предприятиями.

Инвестор выделяет средства в размере 5 тыс. ден. ед., которые должны быть распределены между тремя предприятиями.

Требуется, используя принцип оптимальности Беллмана, построить план распределения инвестиций между предприятиями, обеспечивающий наибольшую общую прибыль, если каждое предприятие при инвестировании в него средств x тыс. ден. ед. приносит прибыль p_i(x) тыс. ден. ед. (i=1, 2 и 3) по следующим данным:

Инвестирование средств (тыс. ден. ед.) х	Прибыль (тыс. ден. ед.)
p1(x)	p2(x)	p3(x)
	3,22	3,33	4,27
	3,57	4,87	7,64
	4,12	5,26	10,25
		7,34	15,93
	4,85	9,49	6,12

Решение. Составим математическую модель задачи.

1. Число шагов равно 3.

2. Пусть s – количество средств, имеющихся в наличии перед данным шагом, и характеризующих состояние системы на каждом шаге.

3. Управление на i-ом шаге (i=1,2,3) выберем x_i - количество средств, инвестируемых в i-ое предприятие.

4. Выигрыш p_i(x_i) на i-ом шаге – это прибыль, которую приносит i-ое предприятие при инвестировании в него средств x_i.

Если через выигрыш в целом обозначить общую прибыль W, то W=p₁(x₁)+ p₂(x₂)+ p₃(x₃).

5. Если в наличии имеются средства в количестве s тыс. ден. ед. и в i-ое предприятие инвестируется x тыс. ден. ед, то для дальнейшего инвестирования остается (s-x) тыс. ден. ед.

Таким образом, если на i-ом шаге система находилась в состоянии s и выбрано управление x, то на (i+1)-ом шаге система будет находится в состоянии (s-x), и, следовательно, функция перехода в новое состояние имеет вид: f_i(s, x) = s-x.

6. На последнем (i=3) шаге оптимальное управление соответствует количеству средств, имеющихся в наличии, а выигрыш равен доходу, приносимым последним предприятием: x₃(s)=s, W₃(s)=p₃(s).

7. Согласно принципу оптимальности Беллмана, управление на каждом шаге нужно выбирать так, чтобы оптимальной была сумма выигрышей на всех оставшихся до конца процесса шагах, включая выигрыш на данном шаге. Основное функциональное уравнение примет вид:

. (16)

Проведем пошаговую оптимизацию, по результатам которой заполним таблицу.

В первой колонке таблицы записываются возможные состояния системы, в верхней строке - номера шагов с оптимальным управлением и выигрышем на каждом шаге, начиная с последнего.

Так как для последнего шага i=3 функциональное уравнение имеет вид x₃(s)=s, W₃(s)=p₃(s), то две колонки таблицы, соответствующие i=3, заполняются автоматически по таблице исходных данных.

s	i=3	i=2	i=1
x3(s)	W3(s)	x2(s)	W2(s)	x1(s)	W1(s)
		4,27		4,27
		7,64		7,64
		10,25		10,97
		15,93		15,93
		6,12		19,26		19,26

На шаге i=2 основное функциональное уравнение имеет вид:

Поэтому для проведения оптимизации на этом шаге заполним таблицу для различных состояний s при шаге i=2.

s	х	s-х	p2(x)	W3(s-х)	p2(x)+ W3(s-х)	W2(s)
				4,27	4,27	4,27
		3,33		3,33
				7,64	7,64	7,64
		3,33	4,27	7,60
		4,87		4,87
				10,25	10,25	10,97
		3,33	7,64	10,97
		4,87	4,27	9,14
		5,26		5,26
				15,93	15,93	15,93
		3,33	10,25	13,58
		4,87	7,64	12,51
		5,26	4,27	9,53
		7,34		7,34
				6,12	6,12	19,26
		3,33	15,93	19,26
		4,87	10,25	15,12
		5,26	7,64	12,90
		7,34	4,27	11,61
		9,49		9,49

На шаге i=1 основное функциональное уравнение имеет вид:

,

а состояние системы перед первым шагом s=5, поэтому для проведения оптимизации на этом шаге заполним таблицу.

s	х	s-х	p1(x)	W2(s-х)	p1(x)+ W2(s-х)	W1(s)
				19,26	19,26	19,26
		3,22	15,93	19,15
		3,57	10,97	14,54
		4,12	7,64	11,76
			4,27	8,27
		4,85		4,85

Видно, что наибольшее значение выигрыша составляет 19,26.

При этом оптимальное управление:

· на первом шаге составляет x₁(s₁)=0 (s₁=5),

· на втором шаге x₂(s₂) =1 (s₂=s₁-x₁=5),

· на третьем шаге x₃(s₃) =4 (s₃=s₂-x₂=4).

Это означает, что (0, 1, 4) – оптимальный план распределения инвестиций между предприятиями.

Таким образом, для получения наибольшей общей прибыли в размере 19,26 тыс. ден. ед., необходимо вложить 1 тыс. ден. ед. во второе предприятие и 4 тыс. ден. ед. в третье предприятие.

Математический аппарат ДП, основанный на методологии пошаговой оптимизации, может быть использован также при нахождении кратчайших расстояний, например, на географической карте, представленной в виде сети. Задача выбора оптимального маршрута перевозки грузов с помощью методов ДП будет решена на практических занятиях.

Вопросы по теме 14:

1. Охарактеризуйте источники нелинейности.

2. Запишите математическую модель задачи НЛП в общем виде.

3. Дайте классификацию методов решения задач НЛП.

4. Назовите разделы нелинейного программирования.

5. Расскажите алгоритм решения задач НЛП графическим методом.

6. В чем особенность задач дробно-линейного программирования? Их экономическая интерпретация.

7. Приведите примеры задач динамического программирования.

8. Кто впервые использовал словосочетание «динамическое программирование»?

9. Сформулируйте принцип оптимальности Беллмана.