Период современной математики

 

ХIX и ХХ века - период современной математики. На период этого 4 - го этапа

оказывает влияние также научно-технический прогресс, растущие потребности человека в

информационных технологиях непосредственно высокий уровень знаний в естественных

науках, экологические глобальные проблемы. Этот период также можно разделить на два периода: математику XIX и XX века. XIX век характеризуется следующими особенностями:

· в алгебре - появились новые работы, приведшие к созданию теоретико-групповых

методов, составивших в дальнейшем ядро современной алгебры;

· в геометрии - создаются основы неевклидовых геометрий, формируются проективная и многомерная геометрии, топология, появляются классификации типов геометрий;

· в математическом анализе - создается основа современных определений вещественного числа и предела. Внутри анализа зарождаются новые дисциплины такие, как теория функций комплексного переменного и теория функций действительного переменного. Расширяется область применения анализа;

· теория вероятностей и математическая статистика формируются как науки;

· формируются алгебраическая и аналитическая теория чисел;

· развиваются такие математические направления как теория множе ств и математическая логика.

Большое внимание в XIX в уделяется преподаванию математики. Так поступившие в

Парижскую политехническую школу (ХIХ в.) должны были пройти годичный курс в

математическом классе (1б часов в неделю) с изучением элементарного курса

аналитической геометрии и механики курс анализа бесконечно малых с практикой,

позволяющей твердо овладевать предметом. Далее два года учебы в политехнической

школе и это давало возможность занимать высшие государственные должности.

· ХХ век. Продолжают развиваться все направления сформированные в предыдущие

столетия - это прикладная и теоретическая математика, получены значительные результаты в математической логике, алгебре, теории дифференциальных уравнений, в функциональном анализе. Формируются такие отрасли математики, как математическая теория управления, вычислительны математика, а также математическое моделирование.

 

История отечественной математики

 

Имеющиеся, исторические документы позволяют, дать общую характеристику первых этапов развития математики на Руси, начиная с Х в. н. э. В Х в. на Руси существовала письменность, связи с Византией способствовали ускоренному приобретению знаний. Математическое образование организовывается - на уровне европейского, налажено обучение придворных. В этот начальный период использовались славянская система нумерации, имеющая свое начало от греческой буквенной нумерации. Числа от 1 до 9, а также десятки и сотни изображались с помощью последовательных букв алфавита, причем над буквой ставился знак ~ (тильда), подобный – в греческой нумерации. Тысячи обозначались буквами со знаком ≠, которому в греческой нумерации соответствовал /. Десятки тысяч обозначались буквами в кружочке, сотни тысяч - в кружочке из точек, а миллионы - в кружочке из черточек. Примеры обозначения чисел в славянской нумерации можно показать, в таблице:

1 - («аз») 100 - ("рцы")

2 - («веди») 200 - ("слово")

3 - («глаголь») З00 - ("твердо")

Добро») 1000 -

Есть») 2000 -

Зело»)

Земля») 10000 -

8 - ("иже") 20000

Фита»)

И») 100000 -

20 - ("како") 200000 -

Люди») 1000000 -

90 -- ("червь")

 

 

Сложные числа записывали по убыванию слева направо. Помимо вычислений чисто

практического: характера - измерение и межевание земель, торговые расчеты, строительные работы хозяйственное содержание княжеских дружин сбор налогов и т.п., на Руси появляются задачи решаемые «числолюбцами». преимущественно церковнослужителями. Пример древнейших рукописей такого плана датируется 1134 г. -запись новгородского дьякона Кирика.

В разных рукописях, встречаются вычисления (задачи);

· вычисление - сколько месяцев, недель, часов прошло от «сотворения мира» (т.е. от 5503 г. до н.э.);

· задачи на вычисление прогрессий при расчете приплода скота;

· вычисление размеров Земли Солнца Луны по данным измерений Эратосфена

(греческого, ученого Ш в. до н.э.);

· теоретико-числовая задача с вычислениями дат религиозного праздника пасхи;

При вычислении использовали вишневые и сливовые косточки, запись проводили на

дощечках, покрытых воском («церу») костяной или металлической палочкой. Счет с

помощью косточек назывался "счет костями" и проводился следующим образом: на столе

чертили несколько продольных и поперечных линий. Число продольных линий зависело от числа разрядов у наибольшего из данных чисел, а число поперечных полос зависело от

характера действий. Так при сложении проводили только одну поперечную прямую, а при

умножении - столько, сколько нужно было записать частных произведений.

Отметим, что позднее косточки нанизывали на шнуры, прообраз вычисления на счетах.

Существовала и древнерусская метрология. Изначально меры длины носят названия частей тела или движения рук, " пядь ", " локоть ", " сажень ". Большая пядь - от мизинца до большого пальца - 23 см, локоть равен двум пядям - 46 см, сажень - два локтя или шесть пядей (94 см). Более крупной мерой была " верста ", которая равнялась 500 саженям, (690 метров). Мерами емкости служили " кадь "- 14 пудов ржи, " лукно " - 60 фунтов зерна, " ведро " - 9-10 литров.

Мерами земельных участков служили " соха ", " четверть ", " десятина " и др. В сохе

считалось 800 четвертей "доброй", земли, четверть составляла половину десятины, а десятина составляла (в 1554 г.) в длину и в ширину по 50 саженей. Мерами веса служили " гривны ", " золотники ", " пуды ". Гривны и пуды служили основными мерами денег. Большая гривна составляла 36 золотников и весила около фунта т.е. вполне соответствовала фунту стерлингов. Малая гривна составляла 48 золотников, т.е. половину большой гривны.

Современный русский денежный счет, построенный на основе, деления рубля на 100 копеек восходит к ХV веку и сложился на основе московской, денежной системы, согласно которому 1 рубль равнялся 200 деньгам, 1 полтина = 100 деньгам, 1 гривна =20 деньгам, 1 алтын = 6 деньгам. До ХVI в. только «деньга» была серебряной чеканной монетой, а рубль, полтина и гривна были лишь счетными единицами.

Общий со всеми государствами путь развития России был прерван в 1 половине XIII в. из-за нашествия татаро-монголов (1240 г.} и крестоносцев (1242 г.). Феодальная раздробленность и нашествия привели к застою во всех областях жизни и науки в том числе.

В области науки застой продолжался до ХVI – XVII в.в. "Благодаря" деятельности православного русского духовенства, которое в борьбе с крестоносцами (католицизмом Запада) подвергло запрету всю литературу, в том числе и научную.

Математические рукописи дошедшие до нас датированы XVII веком, однако были рукописи математических исчислений и в ХVI-ХVII вв., в рукописи относящиеся к 1607 и

1621 гг., именуемой «Устав ратных пушечных и других дел, касающихся до воинской

науки» излагаются некоторые геометрические сведения, относящиеся к вычислению

расстояний или размеров.

Предполагается, что все рукописи ХVII в. имели один общий источник и по

содержанию, они содержат правила действий с целыми числами и дробями, большое число параграфов, отвечает потребностям торгового люда. В заключении рукописи приводятся задачи на смекалку, по бытовому сценарию. Таблицы сложения и умножения прилагаются к рукописям.

Математическая терминология XVII в. отличалась от современной - слагаемые

назывались перечнями, их сумма - исподним большим перечнем, уменьшаемое - заемным

перечнем, вычитаемое - платежным перечнем: сомножители и их произведения - особых

названий не имели, делимое - большой перечень, делитель - деловым перечнем; остаток - остаточной долей.

В ХVII в. образование велось главным образом духовенское, готовились пастыри

разбирающиеся в вопросах богословия, логики риторики и диалектики. В 1687 году в

Москве открывается Славяно-греко-латинская Академия, из стен которой вышли автор

учебника математики Л. Ф. Магницкий русский выдающийся ученый М. В. Ломоносов.

Реформы Петра 1 потребовали образованных специалистов, которых первое время обучали за границей. В Россию Петром 1 приглашены были профессора из Англии. Так был приглашен англичанин Фарварсон для преподавания математики и морских наук. В работу школ в их программы были введены арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, издаются учебники. Активизация Петром 1 навигационного образования повлекла с собой необходимость изучения математических наук в "цифирных" школах. Население, однако, неохотно отправляло своих детей в цифирные школы, так как они хотели детей ремеслу обучать и за прилавком сидеть. Петром 1 были созданы «епархиальные школы», навигационные школы и, недолго существовавшие, «цифирные» школы {до 1744г.).

Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739гг.) был одним из выдающихся людей петровского времени как по общему гак и по математическому познанию. Он самостоятельно изучил математику, был хорошо знаком с европейской учебной литературой ХVII в., а также произведениями греческих и латинских; авторов. В 1703 году в Москве издал свой учебник «Арифметика». Это название гораздо уже ее содержания, в нем есть сведения алгебраические, геометрические, тригонометрические, а также метеорологические, астрономические и навигационные. «Вратами ученос ти» называл эту книгу М. В. Ломоносов. Для учебника Магницкого ярко выражена прикладная тенденция и задачи носят практическую и значимую форму. Его учебник является основой учебников.

Реформы Петра 1 требовали не только грамотных людей, но и людей, способных

проводить научные исследования. По совету немецкого философа и математика Вольфа

Петр 1 издал указ об организации российской Академии наук в 1724 году, а при ней

университета и гимназии «.... пора нас считать варварами пренебрегающими наукой».

Академия наук в России была центром распространения научных знаний. Содержалась

Академия на твердом государственном бюджете, располагала физическим кабинетом,

анатомическим театром, типографией и граверной палатой, механическими и оптическими мастерскими, библиотекой. Отличалась российская Академия от иностранных и составом наук, которые в нее входили. В Академии работали три направления: математическое, физическое и гуманитарное. Математический класс - это математика, астрономия, география и навигация, механика. Физический класс - это теоретическая и экспериментальная физика, анатомия, химия и ботаника. Гуманитарный класс - красноречия и древностей, древней и новой истории, права, политики этики. Если в европейских университетах сохранилось богословное направление, то в университете российском были юридический, медицинский, философский факультеты.

Российская Академия и университет были свободны от религиозного влияния. В

Россию были приглашены по классу математических наук такие ученые как Яков Герман, Николай и Даниил Бернулли, Христиан Гольдбах, в 1727 году Леонард Эйлер. В это время начинает издаваться журнал «Комментарии Санкт - Петербургской Академии», где в последствие были опубликованы труды Эйлера и других ученых, журнал становится одним из ведущих журналов того времени.

Однако со смертью Эйлера (1783 г.) российская Академия наук в области математики

надолго потеряла свое научное значение. Школа Эйлера - Головин, Иноходцев, Крафт,

Лоссаль, Котельников, Румовский, Фукс и А. Эйлер были специалистами в области

преподавания, ими были написаны учебники, долгое время пользовавшиеся успехом.

Необходимо отметить, что университет при Академии наук с 1728 г. просуществовал до 1783 г., второй российский университет - Московский - был открыт Ломоносовым (выпускником первого университета) в 1755 году. При университете были созданы гимназии для дворян и для разночинцев, однако университет страдал от недостатка студентов. Преподавание математики было слабым, ограничивалось только основами.

Организации новых университетов в России в начале Х1Х века способствовали

реформы Сперанского, проводимые в области образования. В 1803 г. законодательно

утверждено, что на государственную службу, требующую специальных знаний, не

принимаются лица без диплома казенного или частного училищ, введены были экзамены

на чин. Создаются университеты в Казани, Харькове, Киеве, Петербурге, готовивших и

специалистов и преподавателей для училищ. В университетах действуют такие факультеты как юридический, медицинский, философский, физико-математический, в последнем математику читают уже три года и к основам математики добавляются прикладная математика, механика, оптика, астрономия и т.п. Появляются такие имена математиков как Лобачевский, Остроградский, Чебышев и др.

 

О Неэвклидовой геометрии

День 11 (по новому стилю 23) февраля 1828 года ознаменовал начало новой эры в развитии мировой геометрической мысли, он стал днем рождения неэвклидовой геометрии.

Встают вопросы: в чем же сущность, сокровенный смысл открытой Лобачевским

неэвклидовой геометрии?

· Почему великий геометр назвал ее Воображаемой?

· Почему евклидова геометрия является частным - вернее, предельным - случаем

геометрии Лобачевского?

· Реальна ли геометрия Лобачевского в смысле соответствия физическому пространству, существует ли поверхность, на которой справедлива новая геометрия, или же она бесполезный плод фантазии, досужий вымысел, игра воображения, формальное доказательство независимости пятого постулата от других евклидовых аксиом? Какая из двух геометрий с большей точностью описывает реальный мир?

Проследим как Лобачевский подходит к открытию новой геометрии, проследим в той мере, в какой возможно рассказать о сокровенной, тончайшей работе гениального ума, где из хаоса мимолетных наблюдений не основе опыта и интуиции рождается небывалая истина, постепенно выкристаллизовывающаяся в виде четкой формулы.

· Первое значительное открытие Лобачевского состояло в доказательстве независимости пятого постулата геометрии Евклида от других положений этой геометрии.

· Вторым открытием была уже сама логически непротиворечивая система новой

геометрии. На свою геометрию он смотрел именно как на теорию, а не как на гипотезу.

Придя к логическому заключению, что в мировом пространстве, а возможно и в

микроскопе, сумма углов треугольника должна быть меньше двух прямых. Лобачевский

смело выдвигал свою исходную аксиому, свой постулат и построил необычную геометрию, такую же, как и Евклидова, лишенную внутренних противоречий. Воображаемой назвал не потому, что считал ее формальным построением, а потому что она пока оставалась доступной лишь воображению, а не опыту. Его не покидала мысль вновь вернуться к измерению космических треугольников и установить истину.

Ничего не меняя в " абсолютной " геометрии, он лишь заменил пятый постулат

антипостулатом, антиэвклидовой аксиомой: через указанную точку можно провести

множество прямых, не пересекающих данную.

На чертеже это выглядит так:

 

 

K' L'

 

N' M'- сверхпараллельная

C P D- Евклидова параллель

 

M B N – сверхпараллельная

Угол параллельности