L K – параллельная в плоскости параллельная в плоскости Лобачевского

Лобачевского

A E B

 

 

Лобачевский изменил само понимание параллельных линий. У Евклида

непересекающиеся и параллельные - одно и тоже, у Лобачевского: из всех не пресекающих данную прямую АВ, лишь две прямые называются параллельными - это К'РК и LPL'. Все остальные, находящиеся в пучке между параллельными, таковыми не считаются (в современной литературе их называют сверхпараллельными).

Поэтому постулат уточняется: если дана прямая, АВ и не лежащая на ней точка Р, то через Р в плоскости АВР можно провести две прямые, параллельные данной прямой АВ.

Параллельными Лобачевский, следовательно, называет такие, которые отделяют

непересекающиеся от пересекающих данную прямую АВ.

Расстояние между прямой АВ и каждой из параллельных не остается постоянным -

уменьшается в сторону параллелизма и увеличивается в противоположную сторону.

параллельные прямые могут близко подойти друг к другу, но они не могут пересечься.

Плоскость в которой существуют такие параллельные, принято называть плоскостью

Лобачевского. Это плоскость вовсе не "плоская" в Евклидовом смысле.

В Евклидовой плоскости угол параллельности неизменен и всегда равен 90; в

геометрии Лобачевского он может принимать все значения - от 0 - 90. Следовательно,

евклидова геометрия есть частный (предметный) случай геометрии Лобачевского, в которой угол параллельности переменный.

Геометрически величина угла параллельности зависит от длины Х перпендикуляра РЕ; то есть если перпендикуляр уменьшается, угол параллельности увеличивается, постепенно приближаясь к 90'.

Весьма условно на чертеже это можно было бы представить так:

 

P

 

Угол

параллельности P1 P2

П(х)

П(х) П(х) Евклидова

Плоскость _{в в} плоскость

Лобачевского

_{а с а с}

E1 E2

A E

 

Другими словами: когда точка Р стремится к совпадению с точкой Е, то есть когда X

стремится к нулю, тогда угол параллельности стремится к 90º.

Таким образом, в новой геометрии существует взаимозависимость угла и отрезка.

Когда угол параллельности прямой, то есть равен 90º, взаимозависимость исчезает. В

евклидовой геометрии ее нет. В неевклидовой она представляет наиболее значительный

момент.

Из этой взаимозависимости выводится основная формула геометрии Лобачевского.

Лобачевский построил новую систему геометрии, в основе которой лежит постулат о параллельности, противоположный пятому постулату Евклида. Если в геометрии Евклида, через точку вне прямой, в плоскости, определяемой этой точкой и этой прямой, можно провести только одну прямую не пересекающуюся с данной, то в геометрии Лобачевского можно провести бесконечно много таких прямых. Лобачевский в 182б

году впервые построил и развил одну из возможных геометрий, где аксиома не имеет места. Геометрия Лобачевского основывается на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется противоположным утверждением - аксиомой Лобачевского: через точку вне прямой в данной плоскости можно провести хотя бы две прямые, не пересекающие данную прямую. Мы видим, что вопрос о том, какая геометрия - Евклида или Лобачевского -точнее описывает мир световых лучей, решается не так уж просто, хотя аксиома Лобачевского и кажется на первый взгляд парадоксальной. Огромной Заслугой Лобачевского было то, что он этот вопрос поставил.

 

 

Список используемой литературы:

 

1. Жизнь замечательных людей. Лобачевский.

М Колесников, выпуск 3, Москва 1965 г.

 

2. Детская энциклопедия. Том 3.

издательство: Академии Педагогических Наук РСФСР, Москва 1959 г.