Отношение к математике выдающихся людей древности

Р.Бэкон

 

Математика как наука.

 

Математика - своеобразный способ теоретического описания действительности

область знаний, имеющая свой особый статус в системе наук.

Математика является наукой стоящей как бы отдельно от всех других наук и этом смысле она похожа с философией. Всеобщность этих двух наук, их взаимопроникновение друг в друга и взаимоиспользование ведет к развитию общества и всех остальных, так называемых специальных наук. Подобно тому, как философия развивалась, обретала новые направления и идеи, так и математика становилась все более развитой и всеобщей наукой.

Математика - чрезвычайно своеобразная наука философский анализ целого ряда положений которой весьма сложен. И хотя особенности математического знания были предметом пристального внимания выдающихся философов и математиков всех времен и народов, многие методологические проблемы математики остаются недостаточно разработанными, что в свою очередь тормозит развитие как «чистой» и прикладной математики так и других отраслей науки в том числе философии.

Математики много раз меняли представление о своей науке и делали это каждой раз под давлением определенных фактов, которые заставляли их отказаться от устоявшихся привычных воззрений. Другими словами современное понимание математики не может быть сформулировано, как простое собрание имеющихся интуитивных представлений об этой науке, не может быть взято непосредственно из знакомства с теми или другими математическими теориями.

 

Чему учит математика

 

П.С. Александров, русский математик начала века сказал: «В моральном плане математика учит нас строгому отношению к тому, что утверждается в качестве истины, что выдвигается в качестве аргумента или высказывается как доказательство. Математика требует ясности понятий и утверждений и не терпит ни тумана, ни бездоказательных заявлений».

«Хорошая музыка – "дар божественных звучаний", - она строится со строгой

выдержанностью формы. В фугах Баха, как в алгоритме, как в формуле, заключена строжайшая последовательность. В этой строгости – существенный источник их впечатляющей силы. Так и в строгой последовательности математических строений есть своя внутренняя музыка, своя красота - жар холодных формул. Но как понимание структуры музыки требует музыкальной культуры, так и переживание красоты математики требует культуры математической».

Остроградский считал, что цифры в математике играют самую ничтожную, самую последнюю роль. Это - высшая философская наука, наука величайших поэтов. Многое из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнишь забытое. «Математика - это то, посредством чего люди управляются природой и собой. Необходимость специальных способностей для изучения и понимания математики часто преувеличивают».

А.Н. Колмогоров: Близость структур, которые изучаются в математических теориях, является своеобразным отражением единства материального мира в математической

абстракции».

Геометрия Евклида.

 

Всем хорошо известно, что геометрия окружающего нас пространства - евклидова. Она была открыта путем наблюдений, а затем свыше 2 тыс. лет назад сформулирована 300 г.до н. э.(3 век до н.э.) Евклидом в виде постулатов и аксиом.

· Надо отметить, что проникновение геометрии в дедуктивную систему произошло

· в Древней Греции. Первые геометрические теоремы были доказаны учеными ионийской школы натурфилософии (первая половина IV в. до н.э.). А именно они доказали, что:

1. Диаметр делит круг пополам;

2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны;

3. Пересекающиеся при пересечении двух прямых противолежащие углы равны;

4. Треугольники, имеющие одну равную сторону и два равных угла, равны (эта теорема использовалась Фалесом для обоснования способа определения расстояния от берега до корабля).

Постепенно наполнение и совершенствование определений постулатов и теорем в работах греческих математиков VI-III в.в. до н.э. вылилось в стройную дедуктивную систему «Начал» Евклида (Ш в до н э). Они состоят из 13 книг. Каждая(книга начинается с определений. Кроме того, первой книге предшествует 5 постулатов и 5 аксиом,

Собственно геометрии посвящено 5 книг.

· Постулаты и аксиомы Евклида лежащие в основе его геометрии представляют собой очевидные утверждения, принимаемые без доказательств.

Рассмотрим постулаты «Начал»:

Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, с которой углы в сумме меньше двух прямых.

Пятый постулат удивлял ученых сложностью своей формулировки. Он походил более на теорему, чем на постулат. Уже в древности его пытались заменить другим, более наглядным. Так, у Прокла (V в. до н. э.) встречаются формулировка «пятого» постулата, которая вошла теперь во все школьные курсы; «через точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую данной».

Много сил потратили математики, чтобы освободиться от пятого постулата, но сделать этого не удалось, хотя геометры занимались этой проблемой на протяжении более 2 тысяч лет. Выбор, постулатов и аксиом в «Началах» очень удачен, почти все они вошли в современную аксиоматику. Однако постулатов и аксиом «Начал» недостаточно для дедуктивного построения геометрии. Евклид не сформулировал многое из того, чем он пользуется в дальнейшем. Так в «Началах» нет, стереометрических постулатов. Нет и аксиом движения, за исключением 4-ой аксиомы.

Само содержание «Начал» не исчерпывается элементарной геометрией - это основы всей античной математики. Здесь подводится итог более чем 300-летнему ее развитию и вместе с тем создается прочная база для дальнейших исследований.

Влияние «Начал» на дальнейшее развитие математики огромно. Уже Архимед, Апполоний и другие античные математики опирались на них в своих исследованиях по математике и механике. В конце VIII - начала IХ вв. появились первые переводы «Начал» на арабский язык, а в первой четверти ХП в - на латинский язык. В странах ислама и в Европе средних веков «Начала» служили настольной книгой каждого серьезного математика, их неоднократно переписывали, переиздавали печатно, комментировали, перерабатывали для преподавания.

Начало бурного развития механики как науки о движении тел относится к середине XVII в. Механика этого периода была опытной наукой. В результате сообщения громаднейшего количества опытных данных И. Ньютоном были сформулированы три его закона динамики и закон тяготения. Это дало возможность решить обширный круг задач о

движении тел. Геометрия Евклида нашла воплощение в законах Ньютона. По существу, с этого момента, изучение механических явлений стало не только проверкой законов Ньютона, но и евклидовой геометрии. Однако в этот период это еще не было осознано, поскольку в Геометрии Евклида, в ее единственности как логической силы, сомнения не было.

 

Добро») 1000 -

Есть») 2000 -

Зело»)

Земля») 10000 -

8 - ("иже") 20000

Фита»)

И») 100000 -

20 - ("како") 200000 -

Люди») 1000000 -

90 -- ("червь")

 

 

Сложные числа записывали по убыванию слева направо. Помимо вычислений чисто

практического: характера - измерение и межевание земель, торговые расчеты, строительные работы хозяйственное содержание княжеских дружин сбор налогов и т.п., на Руси появляются задачи решаемые «числолюбцами». преимущественно церковнослужителями. Пример древнейших рукописей такого плана датируется 1134 г. -запись новгородского дьякона Кирика.

В разных рукописях, встречаются вычисления (задачи);

· вычисление - сколько месяцев, недель, часов прошло от «сотворения мира» (т.е. от 5503 г. до н.э.);

· задачи на вычисление прогрессий при расчете приплода скота;

· вычисление размеров Земли Солнца Луны по данным измерений Эратосфена

(греческого, ученого Ш в. до н.э.);

· теоретико-числовая задача с вычислениями дат религиозного праздника пасхи;

При вычислении использовали вишневые и сливовые косточки, запись проводили на

дощечках, покрытых воском («церу») костяной или металлической палочкой. Счет с

помощью косточек назывался "счет костями" и проводился следующим образом: на столе

чертили несколько продольных и поперечных линий. Число продольных линий зависело от числа разрядов у наибольшего из данных чисел, а число поперечных полос зависело от

характера действий. Так при сложении проводили только одну поперечную прямую, а при

умножении - столько, сколько нужно было записать частных произведений.

Отметим, что позднее косточки нанизывали на шнуры, прообраз вычисления на счетах.

Существовала и древнерусская метрология. Изначально меры длины носят названия частей тела или движения рук, " пядь ", " локоть ", " сажень ". Большая пядь - от мизинца до большого пальца - 23 см, локоть равен двум пядям - 46 см, сажень - два локтя или шесть пядей (94 см). Более крупной мерой была " верста ", которая равнялась 500 саженям, (690 метров). Мерами емкости служили " кадь "- 14 пудов ржи, " лукно " - 60 фунтов зерна, " ведро " - 9-10 литров.

Мерами земельных участков служили " соха ", " четверть ", " десятина " и др. В сохе

считалось 800 четвертей "доброй", земли, четверть составляла половину десятины, а десятина составляла (в 1554 г.) в длину и в ширину по 50 саженей. Мерами веса служили " гривны ", " золотники ", " пуды ". Гривны и пуды служили основными мерами денег. Большая гривна составляла 36 золотников и весила около фунта т.е. вполне соответствовала фунту стерлингов. Малая гривна составляла 48 золотников, т.е. половину большой гривны.

Современный русский денежный счет, построенный на основе, деления рубля на 100 копеек восходит к ХV веку и сложился на основе московской, денежной системы, согласно которому 1 рубль равнялся 200 деньгам, 1 полтина = 100 деньгам, 1 гривна =20 деньгам, 1 алтын = 6 деньгам. До ХVI в. только «деньга» была серебряной чеканной монетой, а рубль, полтина и гривна были лишь счетными единицами.

Общий со всеми государствами путь развития России был прерван в 1 половине XIII в. из-за нашествия татаро-монголов (1240 г.} и крестоносцев (1242 г.). Феодальная раздробленность и нашествия привели к застою во всех областях жизни и науки в том числе.

В области науки застой продолжался до ХVI – XVII в.в. "Благодаря" деятельности православного русского духовенства, которое в борьбе с крестоносцами (католицизмом Запада) подвергло запрету всю литературу, в том числе и научную.

Математические рукописи дошедшие до нас датированы XVII веком, однако были рукописи математических исчислений и в ХVI-ХVII вв., в рукописи относящиеся к 1607 и

1621 гг., именуемой «Устав ратных пушечных и других дел, касающихся до воинской

науки» излагаются некоторые геометрические сведения, относящиеся к вычислению

расстояний или размеров.

Предполагается, что все рукописи ХVII в. имели один общий источник и по

содержанию, они содержат правила действий с целыми числами и дробями, большое число параграфов, отвечает потребностям торгового люда. В заключении рукописи приводятся задачи на смекалку, по бытовому сценарию. Таблицы сложения и умножения прилагаются к рукописям.

Математическая терминология XVII в. отличалась от современной - слагаемые

назывались перечнями, их сумма - исподним большим перечнем, уменьшаемое - заемным

перечнем, вычитаемое - платежным перечнем: сомножители и их произведения - особых

названий не имели, делимое - большой перечень, делитель - деловым перечнем; остаток - остаточной долей.

В ХVII в. образование велось главным образом духовенское, готовились пастыри

разбирающиеся в вопросах богословия, логики риторики и диалектики. В 1687 году в

Москве открывается Славяно-греко-латинская Академия, из стен которой вышли автор

учебника математики Л. Ф. Магницкий русский выдающийся ученый М. В. Ломоносов.

Реформы Петра 1 потребовали образованных специалистов, которых первое время обучали за границей. В Россию Петром 1 приглашены были профессора из Англии. Так был приглашен англичанин Фарварсон для преподавания математики и морских наук. В работу школ в их программы были введены арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, издаются учебники. Активизация Петром 1 навигационного образования повлекла с собой необходимость изучения математических наук в "цифирных" школах. Население, однако, неохотно отправляло своих детей в цифирные школы, так как они хотели детей ремеслу обучать и за прилавком сидеть. Петром 1 были созданы «епархиальные школы», навигационные школы и, недолго существовавшие, «цифирные» школы {до 1744г.).

Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739гг.) был одним из выдающихся людей петровского времени как по общему гак и по математическому познанию. Он самостоятельно изучил математику, был хорошо знаком с европейской учебной литературой ХVII в., а также произведениями греческих и латинских; авторов. В 1703 году в Москве издал свой учебник «Арифметика». Это название гораздо уже ее содержания, в нем есть сведения алгебраические, геометрические, тригонометрические, а также метеорологические, астрономические и навигационные. «Вратами ученос ти» называл эту книгу М. В. Ломоносов. Для учебника Магницкого ярко выражена прикладная тенденция и задачи носят практическую и значимую форму. Его учебник является основой учебников.

Реформы Петра 1 требовали не только грамотных людей, но и людей, способных

проводить научные исследования. По совету немецкого философа и математика Вольфа

Петр 1 издал указ об организации российской Академии наук в 1724 году, а при ней

университета и гимназии «.... пора нас считать варварами пренебрегающими наукой».

Академия наук в России была центром распространения научных знаний. Содержалась

Академия на твердом государственном бюджете, располагала физическим кабинетом,

анатомическим театром, типографией и граверной палатой, механическими и оптическими мастерскими, библиотекой. Отличалась российская Академия от иностранных и составом наук, которые в нее входили. В Академии работали три направления: математическое, физическое и гуманитарное. Математический класс - это математика, астрономия, география и навигация, механика. Физический класс - это теоретическая и экспериментальная физика, анатомия, химия и ботаника. Гуманитарный класс - красноречия и древностей, древней и новой истории, права, политики этики. Если в европейских университетах сохранилось богословное направление, то в университете российском были юридический, медицинский, философский факультеты.

Российская Академия и университет были свободны от религиозного влияния. В

Россию были приглашены по классу математических наук такие ученые как Яков Герман, Николай и Даниил Бернулли, Христиан Гольдбах, в 1727 году Леонард Эйлер. В это время начинает издаваться журнал «Комментарии Санкт - Петербургской Академии», где в последствие были опубликованы труды Эйлера и других ученых, журнал становится одним из ведущих журналов того времени.

Однако со смертью Эйлера (1783 г.) российская Академия наук в области математики

надолго потеряла свое научное значение. Школа Эйлера - Головин, Иноходцев, Крафт,

Лоссаль, Котельников, Румовский, Фукс и А. Эйлер были специалистами в области

преподавания, ими были написаны учебники, долгое время пользовавшиеся успехом.

Необходимо отметить, что университет при Академии наук с 1728 г. просуществовал до 1783 г., второй российский университет - Московский - был открыт Ломоносовым (выпускником первого университета) в 1755 году. При университете были созданы гимназии для дворян и для разночинцев, однако университет страдал от недостатка студентов. Преподавание математики было слабым, ограничивалось только основами.

Организации новых университетов в России в начале Х1Х века способствовали

реформы Сперанского, проводимые в области образования. В 1803 г. законодательно

утверждено, что на государственную службу, требующую специальных знаний, не

принимаются лица без диплома казенного или частного училищ, введены были экзамены

на чин. Создаются университеты в Казани, Харькове, Киеве, Петербурге, готовивших и

специалистов и преподавателей для училищ. В университетах действуют такие факультеты как юридический, медицинский, философский, физико-математический, в последнем математику читают уже три года и к основам математики добавляются прикладная математика, механика, оптика, астрономия и т.п. Появляются такие имена математиков как Лобачевский, Остроградский, Чебышев и др.

 

О Неэвклидовой геометрии

День 11 (по новому стилю 23) февраля 1828 года ознаменовал начало новой эры в развитии мировой геометрической мысли, он стал днем рождения неэвклидовой геометрии.

Встают вопросы: в чем же сущность, сокровенный смысл открытой Лобачевским

неэвклидовой геометрии?

· Почему великий геометр назвал ее Воображаемой?

· Почему евклидова геометрия является частным - вернее, предельным - случаем

геометрии Лобачевского?

· Реальна ли геометрия Лобачевского в смысле соответствия физическому пространству, существует ли поверхность, на которой справедлива новая геометрия, или же она бесполезный плод фантазии, досужий вымысел, игра воображения, формальное доказательство независимости пятого постулата от других евклидовых аксиом? Какая из двух геометрий с большей точностью описывает реальный мир?

Проследим как Лобачевский подходит к открытию новой геометрии, проследим в той мере, в какой возможно рассказать о сокровенной, тончайшей работе гениального ума, где из хаоса мимолетных наблюдений не основе опыта и интуиции рождается небывалая истина, постепенно выкристаллизовывающаяся в виде четкой формулы.

· Первое значительное открытие Лобачевского состояло в доказательстве независимости пятого постулата геометрии Евклида от других положений этой геометрии.

· Вторым открытием была уже сама логически непротиворечивая система новой

геометрии. На свою геометрию он смотрел именно как на теорию, а не как на гипотезу.

Придя к логическому заключению, что в мировом пространстве, а возможно и в

микроскопе, сумма углов треугольника должна быть меньше двух прямых. Лобачевский

смело выдвигал свою исходную аксиому, свой постулат и построил необычную геометрию, такую же, как и Евклидова, лишенную внутренних противоречий. Воображаемой назвал не потому, что считал ее формальным построением, а потому что она пока оставалась доступной лишь воображению, а не опыту. Его не покидала мысль вновь вернуться к измерению космических треугольников и установить истину.

Ничего не меняя в " абсолютной " геометрии, он лишь заменил пятый постулат

антипостулатом, антиэвклидовой аксиомой: через указанную точку можно провести

множество прямых, не пересекающих данную.

На чертеже это выглядит так:

 

 

K' L'

 

N' M'- сверхпараллельная

C P D- Евклидова параллель

 

M B N – сверхпараллельная

Угол параллельности

Лобачевского

A E B

 

 

Лобачевский изменил само понимание параллельных линий. У Евклида

непересекающиеся и параллельные - одно и тоже, у Лобачевского: из всех не пресекающих данную прямую АВ, лишь две прямые называются параллельными - это К'РК и LPL'. Все остальные, находящиеся в пучке между параллельными, таковыми не считаются (в современной литературе их называют сверхпараллельными).

Поэтому постулат уточняется: если дана прямая, АВ и не лежащая на ней точка Р, то через Р в плоскости АВР можно провести две прямые, параллельные данной прямой АВ.

Параллельными Лобачевский, следовательно, называет такие, которые отделяют

непересекающиеся от пересекающих данную прямую АВ.

Расстояние между прямой АВ и каждой из параллельных не остается постоянным -

уменьшается в сторону параллелизма и увеличивается в противоположную сторону.

параллельные прямые могут близко подойти друг к другу, но они не могут пересечься.

Плоскость в которой существуют такие параллельные, принято называть плоскостью

Лобачевского. Это плоскость вовсе не "плоская" в Евклидовом смысле.

В Евклидовой плоскости угол параллельности неизменен и всегда равен 90; в

геометрии Лобачевского он может принимать все значения - от 0 - 90. Следовательно,

евклидова геометрия есть частный (предметный) случай геометрии Лобачевского, в которой угол параллельности переменный.

Геометрически величина угла параллельности зависит от длины Х перпендикуляра РЕ; то есть если перпендикуляр уменьшается, угол параллельности увеличивается, постепенно приближаясь к 90'.

Весьма условно на чертеже это можно было бы представить так:

 

P

 

Угол

параллельности P1 P2

П(х)

П(х) П(х) Евклидова

Плоскость _{в в} плоскость

Лобачевского

_{а с а с}

E1 E2

A E

 

Другими словами: когда точка Р стремится к совпадению с точкой Е, то есть когда X

стремится к нулю, тогда угол параллельности стремится к 90º.

Таким образом, в новой геометрии существует взаимозависимость угла и отрезка.

Когда угол параллельности прямой, то есть равен 90º, взаимозависимость исчезает. В

евклидовой геометрии ее нет. В неевклидовой она представляет наиболее значительный

момент.

Из этой взаимозависимости выводится основная формула геометрии Лобачевского.

Лобачевский построил новую систему геометрии, в основе которой лежит постулат о параллельности, противоположный пятому постулату Евклида. Если в геометрии Евклида, через точку вне прямой, в плоскости, определяемой этой точкой и этой прямой, можно провести только одну прямую не пересекающуюся с данной, то в геометрии Лобачевского можно провести бесконечно много таких прямых. Лобачевский в 182б

году впервые построил и развил одну из возможных геометрий, где аксиома не имеет места. Геометрия Лобачевского основывается на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется противоположным утверждением - аксиомой Лобачевского: через точку вне прямой в данной плоскости можно провести хотя бы две прямые, не пересекающие данную прямую. Мы видим, что вопрос о том, какая геометрия - Евклида или Лобачевского -точнее описывает мир световых лучей, решается не так уж просто, хотя аксиома Лобачевского и кажется на первый взгляд парадоксальной. Огромной Заслугой Лобачевского было то, что он этот вопрос поставил.

 

 

Список используемой литературы:

 

1. Жизнь замечательных людей. Лобачевский.

М Колесников, выпуск 3, Москва 1965 г.

 

2. Детская энциклопедия. Том 3.

издательство: Академии Педагогических Наук РСФСР, Москва 1959 г.

 

Р.Бэкон

 

Математика как наука.

 

Математика - своеобразный способ теоретического описания действительности

область знаний, имеющая свой особый статус в системе наук.

Математика является наукой стоящей как бы отдельно от всех других наук и этом смысле она похожа с философией. Всеобщность этих двух наук, их взаимопроникновение друг в друга и взаимоиспользование ведет к развитию общества и всех остальных, так называемых специальных наук. Подобно тому, как философия развивалась, обретала новые направления и идеи, так и математика становилась все более развитой и всеобщей наукой.

Математика - чрезвычайно своеобразная наука философский анализ целого ряда положений которой весьма сложен. И хотя особенности математического знания были предметом пристального внимания выдающихся философов и математиков всех времен и народов, многие методологические проблемы математики остаются недостаточно разработанными, что в свою очередь тормозит развитие как «чистой» и прикладной математики так и других отраслей науки в том числе философии.

Математики много раз меняли представление о своей науке и делали это каждой раз под давлением определенных фактов, которые заставляли их отказаться от устоявшихся привычных воззрений. Другими словами современное понимание математики не может быть сформулировано, как простое собрание имеющихся интуитивных представлений об этой науке, не может быть взято непосредственно из знакомства с теми или другими математическими теориями.

 

Отношение к математике выдающихся людей древности

 

Истоки математики уходят в глубокую древность, к Египту и Вавилону.

Большинство историков науки относят, однако, появление математики как теоретической дисциплины к более позднему периоду, а именно к греческому периоду ее развития, так как ни в египетской ни в вавилонской математике, несмотря на наличие там довольно сложных и точных результатов, не найдено какого-либо следа собственно математического, дедуктивного рассуждения, то есть вывода одних формул и правил на основе других или иначе - математического доказательства в обычном смысле этого слова.

Неудивительно, что в математике греки увидели не просто практически полезное средство, но, прежде всего, выражение глубинной сущности мира связанной с истинной и неизменной природой вещей. Греческая философия того времени ориентировалась на отыскание первоосновы мира, начала, из которого можно было бы объяснить все происходящее. Для пифагорейцев именно числа играли роль начала, роль исходных сущностей определяющих некоторым образом видимые явления и процессы. Чувственно воспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь как подражание числам, свойства их стали рассматриваться в соответствии со свойствами того или иного числа или числового соотношения, как проявление числовой гармонии.

Древнегреческий ученый и философ Аристотель писал: «Все положения, которые выставляют ученые, начинающиеся числами, будут правильны и относительно чувственных вещей.»

«Заблуждаются те, кто считает, что математика ничего не говорит о прекрасном или о благом. На самом деле, она говорит прежде всего о нем и выявляет его... А важнейшие виды прекрасного – это слаженность, соразмерность, математика больше всего и выявляет именно их.»

«Так называемые пифагорейцы, занявшись математикой первые развили ее и, овладев ею, стали считать ее начла началами всего существующего. А так как среди этих начал - числа от природы суть первое... то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что все небо есть гармония и число.»

Отношение людей к определенным дисциплинам математики

 

Математика многогранна, но у каждого человека существует определенные дисциплины, которым он отдает предпочтение и отмечает их взаимопроникновение.

 

Л.Ф.Магницкий: «Арифметика еже есть счетная мудрость Без сея мудрости ни один философ, ни один доктор не может быть.»

М.В.Ломоносов: «Геометрия - правительница всех мысленных изысканий».

 

С.Жермен: «Алгебра - это лишь изображенная в символах геометрия, а геометрия - воплощенная в фигуре алгебр».

К.Гаусс: «Чарующая красота теории чисел придала арифметике прелесть, которая сделала ее любимой наукой величайших геометров».

Ганкель: «Если разуметь под алгеброй приложение арифметических операций к сложным величинам сякого рода, будут ли то рациональные, или иррациональные числа, или пространственные величины, то ученых браминов Индостана следует считать истинными изобретателями алгебры».

Клайн: «Геометрия остается основным источником богатой и плодотворной математической интуиции которая в свою очередь, придает еще большие творческие силы математикам. Большинство математиков мыслит геометрическими схемами даже если и следа не остается от этих «строительных» лесов, когда они представляют свой окончательный результат в аналитической форме

Высказывание Платона, что «геометрия приближает разум к истине», все еще остается в силе.

П. Лаплас: «Замечательно, что теория вероятностей, начавшая с изучения игр, возвысилась до важнейших предметов человеческого знания».

«Теория вероятностей есть в сущности не что иное, как здравый смысл, сведенный к исчислению: она заставляет оценивать с точностью то, что справедливо умы чувствуют как бы инстинктом, часто не умея отдавать себе в этом отчета.

А. Эйнштейн: «Как бы машина хорошо ни работала, она может решать все требуемые от нее задачи, но она никогда не придумает ни одной».

 

Н. Винер: «Чтобы поставить машине задачу, нужно многое знать. Ценность

вычислительной машины зависит только от того, сколь разумным способом будет использовать ее человек».

«Предоставьте же человеку и машине присущие им сферы действий: человеку - человеческое; вычислительной машине - машинное».

 

Чему учит математика

 

П.С. Александров, русский математик начала века сказал: «В моральном плане математика учит нас строгому отношению к тому, что утверждается в качестве истины, что выдвигается в качестве аргумента или высказывается как доказательство. Математика требует ясности понятий и утверждений и не терпит ни тумана, ни бездоказательных заявлений».

«Хорошая музыка – "дар божественных звучаний", - она строится со строгой

выдержанностью формы. В фугах Баха, как в алгоритме, как в формуле, заключена строжайшая последовательность. В этой строгости – существенный источник их впечатляющей силы. Так и в строгой последовательности математических строений есть своя внутренняя музыка, своя красота - жар холодных формул. Но как понимание структуры музыки требует музыкальной культуры, так и переживание красоты математики требует культуры математической».

Остроградский считал, что цифры в математике играют самую ничтожную, самую последнюю роль. Это - высшая философская наука, наука величайших поэтов. Многое из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнишь забытое. «Математика - это то, посредством чего люди управляются природой и собой. Необходимость специальных способностей для изучения и понимания математики часто преувеличивают».