Фазовая скорость упругих волн в твердой среде

Рассм. цилиндрич. стержень из однородного и изотропного материала

Предположим, что вдоль стержня распространяется плоская гармонич. волна. Частицы, лежащие в сечении стержня определяем координатой х, будут претерпевать смешение S, описываемое ур-нием (1).

Выделим в стержне элемент длины ∆x, ограниченной в отсутствие волны значением координаты x и x+∆x.

Если сечение стержня в некоторый момент времени имеет смещение S, т.е. в момент возникновения волны, то смещение с координатой x+∆x будет S+∆S. Т.к. смещение сечений для разных значений координаты x описывается формулой (1), то они не одинаковы для разных x и этот элемент стержня будет деформирован. Он получает удлинение ∆S ≠∆x.

Отношение – среднее значение относительного удлинения элемента стержня ∆x.

Чтобы получить деформацию S в сечении с координатой x нужно устремить

Относит. удлинение = , где - частная производная S по x, т.к. в общем случае S зависит от x и t.

Деформация растяжения приводит к появлению в сечении с координатой x нормального упругого напряжения, описываемого формулой. , E – модуль Юнга.

Появление деформации в стержне приводит к появлению силы, проекция кот. на ось X равна , где - площадь поперечного сечения стержня. Т.к. мало, то мы можем воспользоваться св-вом производных для бесконечно малых величин: .

Если подставить это выр. в ур-ние (2), то выр. для проекции силы перепишется в виде Для этого случая мы можем записать динамич. ур-ние движения 2-го зак. Ньютона.

Учитывая, что масса = и подставив это значение, мы можем записать равенство . Сделав сокращение, получим волновое ур-ние . (3).

Ур-ние для плоской синусоид волны, распространяющейся вдоль оси X: (4).

Сравнив ур-ния (3) и (4) получим выражение для фазовой ск-ти продольных упругих волн стержня: .

Для поперечных волн: , где G – модуль сдвига.

 

Энергия упругой волны

Упругая среда, в кот. распространяются мех. волны, обладает как кинет. энергией колебат. движения частиц, так и потенц. энергией, обусловленной деформацией.

Для нахождения потенц. энергии упруго деформированного тела необходимо вычислить работу, кот. необходимо совершить, чтобы сообщить стержню длины удлинение и заfix это деформацию.

Упругая силы, вызывающая это удлинение, = , где - модуль Юнга; – нормальное напряжение в стержне, т.е. сила упругости, приходящаяся на единицу поперечного сечения; - площадь поперечного сечения; - удлинение стержня вдоль оси X; – начальная длины стержня, когда работы равна , где – относительное удлинение стержня длиной ; - объем стержня.

Значит в деформированной состоянии стержень обладает потенц. энергией , а плотность потенц эн. .

Если в твердой среде с плотностью распространяется плоская продольная гармоническая волна, то скорость такой волны запишется как (2).

Выделим в стержне объем , малый настолько, что скорость движения всех его частиц и относительную деформацию в каждом его сечении можно считать одинаковой. Поскольку скорость колебательного движения частиц среды равна производной , выделенный объем массой обладает кинетической энергией . С другой стороны для потенц. эн. упругой деформации мы имеем . Мы используем в этих переходах значения для … и для , тогда полная энергия , а плотность энергии .

ДУ 2 один раз по t: ;

Второй раз по x:

Даст формулу плотности полной энергии, возникающей в упругой среде при распространении в ней плоской продольной гармонической волны

.

Кол-во энергии, переносимой волной за время , наз. потоком энергии

Как энергия, так и поток энергии явл. величинами скалярными, в то же время мы говорим о направленном переносе энергии, тогда для хар-ки направления течения энергии в пр-ве используется вект. величина, наз. плотностью потока энергии (3), где - вектор фазовой ск-ти волны. Выр. 3 наз. вектором Умова-Пойнтинга.

 

36.Принцин относительности Галилея или преобразования Галилея

Рассм. движение частицы в 2-х инерциальных сист. отсчета – K и K', где сист. отсчета K' движется относит. сист отсчета K с пост. ск-тью.

Для упрощение задачи пусть оси сист. коорд. x,y,z в сист. отсчета K ||-ны x',y',z' в сист. коорд. K' и пусть подвижная сист. отсчета K' движется вдоль оси X.

В Ньютоновской мех-ке предполагается, что время во всех сист. отсчета течет одинаково, тогда исходя из наших упрощений, мы имеем 4 ур-ния, кот. связывают эти 2 инерц. сист. отсчета и эти ур-ния наз-ся преобразованиями Галилея.

; .

Эти преобразования позволяют перейти от координат и времени одной инерц. сист. отсчета к координатам и времени другой инерц. сист. отсчета.

Продиф-ем 1-е ур-ние по времени, учитывая, что , т.е. производная по совпадает с производной по , тогда , где - проекция ск-ти частицы на ось X в сист. отсчета K; - проекц. ск-ти на ось в сист. отсчета K', тогда ; ; .

Сумму всех этих ур-ний можно представить одним вект. урнием , т.е. ск-ть частицы относитю неподвижн. сист. отсчета K равна сумме скоростей частицы относит. подвижной СО и ск-ти системы K' относит. СО K.

Дифференцирование ур-ния ск-ти по t и даст , т.к. по условию

 

37.Специальная теория относительности. Преобразования Лоренца

Одни из основных постулатов мех-ки Ньютона явл. утверждение об одинаковости хода времени во всех инерц. СО и, как следствие этого, об абсолютности промежутков времени между какими-либо двумя событиями. Напр., если 2 события происходят одновременно по часам в одной инерц. СО, то они согласно классич. представлениям совершаются также одновременно по часам в любой другой инерц. СО.

Это противоречит постулатам специальной теории относительности, которые применимы к эффектам, проявляющимся при скоростях движения тел близких к скорости света в вакууме, и эти ск-ти наз. релятивистскими ск-тями, а теория, описывающая такие явления, наз. релятивистской теорией.

Пусть имеются 2 ИСО – неподвижная K и система K', движущаяся вдоль оси X с пост. ск-тью . Пусть в нач. мом. времени начало коорд. K и K' совпадают. В мом. времени t=0 в т.О происходит вспышка света и одновременно с ней система K' начинает двигаться относительно системы K. В момент времени t>0 свет, распростр. со ск-тью с, достигает в CO K точек по-ти сферы с центром в т.О и радиусом ct.

В CO K' можно считать, что световая вспышка произошла в момент времени в т.О'.

Согласно преобразованиям Галилея, , т.к. обе системы инерциальные. С другой стороны, в мом. вр. свет в СО K' достигнет сферы с центром О', т.е. в один и тот же момент времени свет нах-ся на двух разных сферах с центрами в т.О и О'.

Это противоречит классич. представлениями. В этом случае мы должны использовать не преобразования Галилея, а преобразования Лоренца.

Преобразования Лоренца имеют простейший вид в том случае, если оси декартовых сист. коор. неподвижной K и движущейся K' ИС попарно параллельны и СО K' движется вдоль оси Х.

Если дополнительно к этим условиям в качестве начала отсчета времени в обеих системах выбран момент, когда нач. коорд. О и О' обеих систем совпадают, то преобразования Лоренца имеют наиболее простой вид:

; , где С- ск-ть света в вакууме; V – ск-ть подвижной СО K' относит. неподвижной K.

Эти формулы дают возможность осущ. переход от сист. K к K' или от K' к K.

Формулы для преобразований времени входят координаты. , т.е. пр-во и время связаны между собой.

В пределе, когда С->∞, преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

 

 

Изменение длины тела

Пусть стержень, длиной расположен вдоль оси Ox и соответственно Ox'. Предположим, что стержень покоится в движущейся CO K', т.е. в CO K' его координаты будут Если СО K' движется относит. K, то координаты стержня в СО K' по отношению K будут определяться формулами Лоренца: ; ;

Отсюда или в длинах стержня , т.е. длина стержня в движущейся CO K' будет меньше длины его в состоянии покоя на величину . Это явление наз. Лоренцевым сокращением.