Распределение Максвелла.Средняя, среднеквадратичная и наивероятная скорости молекул.

Предполагаем, что состояние газа равновесное, рассм. распределение молекул газа по скоростям. Введем воображаемое пр-во скоростей в котором каждой отдельной молекуле в ПДСК будут соответствовать ск-ти , , , т.е. в этом пространстве каждой молекуле будет соответствовать точка, наз-емая молекулярной точкой(М.точкой).

В равновесном состоянии молекулы газа движутся хаотично и все направленные движения молекул равноправны и положение м.точек относительно начала координат сферически симметрично. В этом случае плотность М.точек, т.е. число их в единице объема V пр-ва явл-ся ф-ей расстояния от начала координат, т.е. ф-ей модуля ск-ти.

Во сколько раз увеличивается число молекул газа в объеме, во столько же раз возрастает плотность М.точек, а плотность М.точек пропорциональна числу молекул N. Nогда плотность М.точек можно представить в виде функции Nf(v).

Зная вид ф-ции f(v) можно найти число молекул , компоненты скорости которых заключены в пределах интервалов , , , лежащих в окрестности геом. точки с координатами , , .

Если взять объем прямоуг. параллелепипеда со сторонами , , , то в этом объеме будет нах-ся , , N точек.

Если в соответствии с нашим рисунком рассматривать шаровой слой радиусом V и толщиной dv, то молекулы, находящиеся в этом слое, обладают скоростями, модули которых лежат в интервале от V до V+dv. Чтобы найти число таких молекул, нужно умножить плотность М.точек, соответствующих данному значению, на объем шарового слоя, равный , т.е. , где f(v) – функция распределения вероятности значений скорости V. Эту ф-ю теоретически получил Максвелл и она имеет вид

Где - масса молекулы

- постоянная Больцмана

- абсолютная температура

Коэф. пропорциональности А определяется из условия , кот. наз. условием нормировки ф-и .

Соответствующий расчет для коэффициента А дает ее значение .

Тогда окончательное выр. для ф-и распределения молекул газа по скоростям запис. в виде:

Эта ф-я наз. ф-ей распределения Максвелла. В этой формуле под знаком стоит выр. т.е. отношение кинетич. эн. молекулы для данной скорости к величине КТ, хар-ющей среднее значение тепловой энергии молекул.

Наиболее вероятной скоростью, которой обладает молекула газа , будет скорость, отвечающая max-муму ф-и . Ее значения можно найти приравняв к нулю производную . Исключив из нее коэф-ты, не зависящие от скорости v: .

Продиф-вав это ур-ние .

Значение, кот. соответствует max-муму наиверостной ск-ти, опред-ся из равенства ;

Из формул для ф-и распределения вероятности для средней арифметической ск-ти мы можем записать , где - значение ск-ти при данной температуре T.

Тогда средняя квадратичная ск-ть и значение ее .