Траектория и путь м.т. Ск-ть м.т.

Введение

Простейший вид движ. в прир. - мех. движ., состоящее в изменении взаимного располож. тел или их частей в пр-ве с теч. времени.

Мех-ка – раздел физ., занимающийся изучением закономерности мех. движ.

Если движ. макроскопич. тел совершается со скоростями во много раз меньше ск-ти света в вакууме, то такая мех-ка наз. классич., или Ньютоновской, т.к. в основе класс. мех. лежат законы Ньютона.

Закономерности движ. тел со скоростями, близкими к v света в вакууме, явл. предметом релятивистской мех-ки.

Законы движ. микрочастиц (электронов в атомах, молекулах, кристаллах) явл. предметом квантовой мех-ки.

Класс. мех-ка сост. из 3 осн. разделов: 1)статики; 2)кинематики; 3)динамики

В статике рассм. законы сложения сил и условия равновесия тел.

В кинематике дается матем. описание всевозможных видов движ. без рассмотрения причин, обеспечивающих появление каждого конкретного вида движ.

В динамике изучается влияние взаимодействия между телами на их мех. движение.

При описании реального движ. тел в мех-ке используют упрощенные модели, напр. матер. точка(м.т.), абс. тв. тело, абс. упругое тело и др.

М.т. наз. тело, размеры и форма которого несущественны в условиях данной задачи.

Любое протяженное тело или сист. таких тел, образующих исследуемую сист., можно рассм. как сист. м.т. Для этого необходимо протяженное тело разбить на сист. м.т. пренебрежимо малых по сравнению с размерами самих тел.

Для описания любого тела наблюдатель должен выбрать сист. отсчета, под кот. понимают тело отсчета, реальное или воображаемое, и связанную с ним сист. коорд., а также опред. способ измерения времени.

(Рис.)

 

 

Это позволяет наблюдателю устанавливать положение изуч. объекта М(м.т.) по отношениию к сист. отсч. в любой момент t. Выбор сист. коорд. произволен и определяется условиями задачи.

Для описания движ. м.т. использ. 3 способа задания движения: векторный, координатный, естественный, или траекторный.

При вект. способе - на теле отсчета выбирается т.О – начало отсчета, из кот. в направлении движущейся т.М проводят радиус-вектор .

(Рис.)

 

 

При движении т.М модуль и направления изменяется, т.е. он явл. ф-ей времени.

Если вид ф-и известен, то ур-ние движ. т.М задано в вект виде. Конец описывает в пр-ве кривую, кот. наз. траекторией движущейся точки.

Закон движ. м.т. в вект. форме имеет вид или , где единичный вектор в направлении .

В случае коорд. способа - с телом отсчета связывают сист. коорд., позволяющую каждой точке пространства сопоставить 3 числа, кот. наз. координатами точки. Наиб. распространенной явл. прямоуг. декарт. сист. коорд. В ПДСК положение матер. т.М определяется 3-мя коорд. – x, y, z.

При движении точки эти коорд. применяются во времени и движение точки описывается 3-мя параметрическими(кинетич.) ур-ниями. x = x(t), y = y(t), z = z(t).

(Рис.)

 

 

Где единичн. Векторы соотв. коорд. осей.

Параметрич. ур-ния представляют собой коорд. форму записи закона движ. точки. Если т. движется по плоскости, то остаются 2 ур-ния, если движ. в одном направлении – одно. В различных сист. отсчета законы движ. одной и той же м.т. имеют различный вид.

Любое свободное тело, не подвергающееся внешним воздействиями, не может нах-ся в состоянии покоя, но всегда можно найти такую сист. отсчета, по отношению к кот. пр-во явл. однородным и изотропным, а время однородным. Такая сист. отсчета наз. инерциальной.

В инерц. сист. отсчета всякое свободное движ. происходит с постоянной по величине и направлению скоростью. Этот вывод явл. содержанием 1-го зак. Ньютона, кот. гласит: всякое свободное тело нах-ся в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Если наряду с имеющейся у нас инерц. сист. отсчета ввести другую сист. отсчета, движущуюся относительно первой прямолинейно и равномерно, то законы свободного движения в этой новой сист. будут теми же, что и по отношению к первоначальной сист. Это говорит о том, что сущ. не одна, а бесконечное мн-во инерц. сист. отсчета, связанных с м.т-ми и движ друг относит друга прямолин. и равномерн.

Ускорение м.т.

Для хар-ки быстроты изменения ск-ти точки в мех-ке вводится понятие ускорение.

Средним ускорением точки в интервале времени от t до t+∆t наз. вектор = отношению приращения точки за время ∆t. .

Ускорением, или мгновенным ускорением наз. вект. величина , равная 1-й произв. по врем. от ск-ти рассм. точки или 2-й произв. по врем. от этой точки. .

Ускор. т. в мом. врем.t = пределу средн. ускор. при неограниченном уменьшении продолжительности интервала ∆t: .

Разложение вектора по базису ПДСК. Проекции ускор. на оси коорд. = 1-м произв. по врем. от соотв. проекций ск-ти, и 2-м произв. по врем. от соотв. коорд-т точки , ,

Модуль вектора ускорения

| |= = .

Вектор ускор. м.т. лежит в соприкасающейся плоскости в проведенной т.М траектории и направлен в сторону вогнутости траектории ВС.

(Рис).

 

 

В этой плоскости вектор ускорения a можно разложить на 2 взаимно составляющих и : + .

Составляющая , направленная по касательной к траектории, наз. тангенциальным ускорен точки , где единичный вектор. , -проекция касательного ускорения на направление вектора . Векторы и совпадают по направлению при ускоренном движ. м.т. и противоположны – при замедленном. При движение наз. равномерный.

В общ. случае траектория точки представляет собой не плоскую, а пространственную кривую. Для такой кривой вводится понятие соприкасающейся плоскости. Соприкасающейся плоскостью в произвольной т.М кривой наз. предельное положение плоскости, проходящей через любые 3 точки кривой, когда эти точки неограниченно приближаются к т.М.

Составляющая ускорения a м.т. наз. ее нормальным ускорением. Эта составляющая направлена по главной нормали траектории в т.М в сторону к центру кривизны траектории. Поэтому часто наз. центростремительным ускорением. , где - единичный вектор нормали, – лин. ск-ть м.т., – радиус кривизны траектории в т.М.

 

 

Сила

Силой наз. вект. величина, являющаяся мерой мех. действия на рассматриваемое тело со стороны других тел. Мех. взаимодействие может осущ. как между непосредственно контактирующими телами посредством трения, давления и т.д., так и между удаленными телами.

Форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной ск-тью действия одних частиц на другие, наз. физ. полем, или просто полем.

Взаимодействие между удаленными телами осущ. посредством создаваемых ими гравитационных или электромагнитных полей.

Мех. действие на данное тело со стороны других тел проявляется двояко: оно способно вызывать:

1)изменение состояния мех. движения рассматриваемого тела.

2)его деформацию.

Сила полностью определена, если заданы ее модуль, направление в пр-ве и точка приложения.

Прямая, вдоль кот. направлена сила, наз. линией действия силы.

Поле, действующее на м.т. с силой , наз. стационарным полем, если оно не изменяется с теч. времени t

Одновременное действие на м.т. М нескольких сил , … эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей, или результирующей силой, и равной вект. сумме всех действующих сил + …+ =

 

Масса и Импульс тела

В класс. Ньютоновской мех-ке массой матер. т. наз-ся полож-ая, скалярн. величина, яв-ся мерой инертности этой точки. Под действием силы мат.т. изменяет свою скорость не мгновенно, а постепенно, т.е. приобр. Конечное по величине ускор-е, кот. тем меньше, чем больше масса мат.т.

Для сравн. масс m1 и m2 2-х мат.т. достаточно измерить модули a1 и a2 приобретенными этими т. Под действием одной и той же силы F.

В класс. Ньют. мех-ки считается, что:

1) масса мат.т. не зависит от состояния движ-я т., явл-ся ее неизмен-ой хар-кой.

2) масса величина одитивная, т.е. масса ситемы равна сумме всех мат.т. вход. в состав этой сист.

3) масса замкн. сист. Остается неизмен. при любых процессах, происх. в этой сист.

Векторная величина = произв. масс на наз-ся импульсом или кол-ом движения этой мат.т.

2 закон Ньютона:
Скорость изм-я импульса мат.т. = действ-щей на нее силе , сумме сил, действ. на данную мат.т.

Динамическое ур-е 2-го закона Ньютона:

или исп. ур-е импульса: , т.к. m=const: ;
.

Ускорение мат.т. совпадает по напр-нию с действ. на нее силой и равно отношению этой силы к массе мат.т.

При криволин. движ. тангексальное и центр. уск-е мат.т. опред. соотв. сост. силы F.

;

;

ДУ движ-я мат.т. наз-ся ур-е

В проекц. на оси декарт.сист.коорд это динамическое ур-е имеет вид:
, , .

3 закон Ньютона

Силы с кот-ми взаимодействуют 2 мат.т равны по модулю, противоположны по напр-ию и направлены вдоль прямой, соед. эти точки.

Из 3-го закона следует что в любой замкнутой механ. сист. геометр. сумма всех внутр. сил равны нулю

Вектор ,т.е. век-р всех внешних сил, равный геомтр. сумме всех внешн.сил

, действ.на сист., наз-ся главным вектором внешн. сил.

Исп. 2-ой закон Ньютона:

эта формула выражает з-н изменения импульса сист.

 

Центр масс

Если сист. сост. из N м.т., то в этом случае вводится понятие центра масс.

Центром масс сист. м.т. наз. т.С, положение кот. опред. радиус-вектором , кот. , где масса и радиус-вектор i-той м.т. N-общее число м.т-ек в сист., – масса всей системы.

В проекциях на ПДСК координата центра масс запишется ; .

Центр масс(центр инерции) сист. м.т. совпадает в однородном поле силы тяжести с центром тяжести системы.

Ск-ть центра масс запишется формулой (1). Где - импульс системы.

Согласно ур-нию (1) суммарный импульс сист. м.т. можно представить в вилле произведения массы системы на ск-ть центра масс.

Тогда ур-ние движения центра масс запишется в виде , где m – масса системы, - ускорение центра масс.

Если изучаемая сист. явл. тв. телом, движущимся поступательно, то ск-ть точек тела и ск-ть центра масс одинаковы и равны тв. тела. Тогда ускорения тв. тела = уск. сист. м.т. () и основное ур-ние динамики поступат. движ. тв. тела имеет вид .

 

Закон сохранения импульса

Рассм. сист., состоящую из N матер. точек. Обозначим через силу, с кот. k-я м.т. действует на i-ю.

Символом обозначим результирующую всех внешних сил, действующих на i-ю частицу. Тогда динамическое ур-ние движ. запишется в виде

+ …+ +

+ …+ +

+ …+ +

Где – импульс i-й частицы, внешние силы, действующие на м.т.

Чтобы получить ур-ние движения такой сист., мы должны суммировать все силы, действующие как внутри сист., так и на сист., тогда левая часть этой суммы есть производная по t от суммарного импульса сист.

Правая часть содержит ∑ всех внутренних действующих в сист. сил и сумму внешних сил, действующих на сист.

Согласно 3-му з.Ньютона, результирующая всех внутр. сил = 0, т.к. каждая сумма сил в скобке = 0, т.е .

Учитывая, что рав-во для суммарного импульса мы можем записать (1).

В этой сумме правая часть есть сумма всех внешних сил, т.е. производная по времени от суммарного импульса сист. = сумме внешних сил, действующих на тела системы.

Если сист. замкнута(консервативна), то внешние силы отсутствуют, сумму всех , то в ур-нии (1) правая часть = 0.

Такое выр. указывает, что и закон сохр. импульса сформулируется след. образом: суммарный импульс замкнутой сист. м.т. остается постоянным.

В отличие от законов Ньютона, закон сохр. импульса принадлежит к числу фундаментальных физ. законов. Он связан с определенным св-вом симметрии пр-ва, его однородностью, кот. проявляется в том, что физ. св-ва замкнутой сист. и законы ее движения не зависят от выбора положения начала координат инерциальной сист. отсчета, т.е. эти законы не изменяются при || переносе в пр-ве замкнутой сист. как целого.

 

Движение тела перем. массы

В Ньютоновской мех-ке масса тела может изменяться в незамкнутой системе только в рез-те отделения от тела или присоединения к нему частиц вещества(прим: ракета).

В процессе полета масса ракеты постепенно уменьшается.

Ур-ние поступат. движ. тела перем. массы, или ур-ние Мещерского, запишется в виде:

где и - масса и ск-ть тела в рассматриваемый момент времени, - главный вектор внешних сил, действующих на тело, - ск-ть частиц после отделения от тела, если , или ск-ть присоединения, если

Ур-ние Мещерского отличается от 2-го зак.Ньютона доп. членом . Этот доп. член правой части ур-ния представляет собой доп. силу, действующую на тело переменной массы. Эта сила наз. реактивной силой где - ск-ть отделяющихся либо присоединяющихся частиц, т.е. их ск-ть по отношению к сист. отсчета, движущаяся поступательно вместе с телом, напр. ракетой.

Реактивная сила хар-ет мех. действие на тело отделяющихся либо присоединяющихся к нему частиц.

Ур-ние движения ракеты в отсутствие внешн. сил записывается в виде:

Если нач. ск-ть ракеты =0 в момент старта, то ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном относительно ск-ти струи газа. В этом случае и при связь между ск-тью ракеты и ее массой по модулю выражается формулой Циалковского , где – начальная, стартовая масса ракеты с топливом и окислителем.

Max ск-ть, кот. может развить ракета в отсутствии внешних сил, наз. характеристической ск-тью. Эта ск-ть достигается в момент работы двигателя, когда иссяк весь запас топлива. где - начальная масса топлива и окислителя.

Влияние тяготения земле и сопротивления воздуха (т.е внешние силы ) уменьшают max ск-ть ракеты.

Хар-кая ск-ть составной многоступенчатой ракеты опред. формулой: где n – общее число ступеней ракеты; - масса топлива и окислителя, предназначенных для работы i-той ступени; - cr-nm истечения газов i-той ступени; - стартовая масса многоступенчатой ракеты, включающей все ступени.

Увеличения хар-кой ск-ти многоступ. ракеты происходит за счет последовательного уменьшения ее массы, за счет отделения от нее ступеней ракеты.

 

Момент силы

Для хар-ки внешнего мех. воздействия на тело, приводящее к изменению его вращательного движения, вводят понятие момента силы.

Моментом силы относит. Неподвижной т.О – полюса наз. вект. величина , равная вект. произведению , проведенного из т.О в место приложения силы , на вектор силы . .

Направление опред. по правилу буравчика: если от производить вращение по наименьшему углу в направлении силы , то вектор момента силы будет направлен по направлению буравчика.

Модуль момента силы: ), α= где α – наим. угол между векторами и . – длина перпендикуляра ОВ, опущенного из т.О на линию действия силы, где – наз-ся плечом силы относительно т.О. когда приложена к одной из точек тв. тела, то хар-ет способность силы вращать тело вокруг т.О, относит. кот. берется этот момент силы.

Проекция на произвольную ось z, проход. через т.О, наз. моментом силы относительно этой оси z.

 

Момент импульса

а) моментом импульса, или моментом кол-ва движения м.т. относит. неподвижной т.О (полюса), наз. , равный вект. произвед. проведенного из полюса О в место нахождения м.т., на вектор импульса этой точки. , где - масса и ск-ть м.т.

б) моментом импульса сист. м.т-ек относительно неподвижной т.О наз. сумма моментов импульса относительно этой же т.О всех м.т-ек системы. , где - масса, радиус-вектор и ск-ть i-той м.т., n – общее число этих точек в системе.

Модуль моменты импульса запишется как модуль вект. произвед.

. Если частица движется прямолинейно, то момент импульса может изменяться только за счет изменения модуля вектора ск-ти.

 

Момент инерции

Мом. инерции мех. сист. относит. неподвижн. оси ОО’ наз. физ. величина I₀ = сумме произведений масс всех N м.т-ек сист. на квадрат из расстояния до этой оси.

, где и - масса м.т. и ее расстояние до оси.

Мом. инерц. тв. тела относит. оси ОО’ запис. формулой. (1), где - масса малого элемента тела , - плотность тв. тела, R – расстояние от элемента объема до оси ОО’.

Если тело однородное, то плотность его во всех т. Одинаковая и = const и ее можно вынести за знак интеграла. (2).

Если тело оси симметричное, то можно опред. мом. инерц. такого тв. тела относительно любой оси, || -ной данной.

Рассм. произвольное тело и 2 || друг другу оси, одна из кот. – ось С проходит через центр масс тела, а другая – ось О - || оси С и отстоит от нее на расстояние l. Выберем оси координат как показано на рис. Момент инерции I относит. оси О опред. выр.

Первая сумма в () дает координаты точки массой относительно центра тяжести, в произведение под суммой дает произведение I_c относительно центра масс

Во вторую сумму входит сумма координат , кот. = всех тела, а это есть координата центра масс. Эта сумма = 0, т.к. мы поместим начало первой системы координат в эту точку.

В третьей сумме мы имеем , а это есть масса нашего тела. Тогда момент инерции тела относительно оси О, находящейся на расстоянии l от оси С, проходящей через центр масс и || оси О, запишется ур-нием . Это ур-ние наз. т.Штейнера, или т. о переносе осей симметрии. Это теор. формулируется так: момент инерции тела относительно произвольной оси (О) равен сумме моментов инерции относительно оси, || данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы m тела на квадрат расстояния между осями.

Учитывая т.Штейнера, вводятся след. физ. понятия:

1)оси инерции, проходящие через центр инерции тела (центр масс), наз. главными центральными осями инерции тела, а момент инерции тела относительно этих осей – главными центральными моментами инерции.

2)Ось симметрии однородного тела всегда явл. одной из его главных центральных осей инерции.

 

Энергия

Энергией наз. скал. Физ. величина, явл-ся общей мерой различных форм движения материи, рассматриваемых в физике.

Эн. Сист. количественно хар-ет эту сист. в отношении возможных в ней превращений движения. Эти превращения происходят благодаря взаимодействию частей системы как друг с другом, так и с внешними телами, внешней средой.

Для анализа качественно различных форм движения и соответствующих сил взаимодействий в физике вводят различные типы энергии – механич., электромагнитн., ядерную и др.

Изменение мех. движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел.

Для количественного описания такого процесса обмена энергией между взаимодействующими телами в мех-ке пользуются понятием работы силы, приложенной к рассматриваемому телу.

Мех. эн. Бывает 2-х видов:

-кинетическая

-потенциальная.

Кинетическая эн. опред. массами и скоростями рассматриваемых тел.

Потенциальная эн. зависит от взаимного расположения взаимодействующих друг с другом тел.

 

Колебание. Типы колебаний

Колебаниями наз. движения или процессы, обладающие то или иной повторяемостью во времени. Колебания м.б. разной природы.

В класс. физике рассм. механические, электромагн. и электромех. колебания. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся сист. различают: свободные, или собственные колеб.; автоколеб. и параметрические колебания.

Свободными наз. колеб., кот. происходят в отсутствие внешних переменных воздействий на колебат. сист. и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой сист. от состояния ее устойчивого равновесия.

Вынужденными наз. колеб., возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.

Автоколебаниями наз. колеб., кот. задается внешней силой, а сама система, на кот. действует эта сила, управляет этой внешней силой.

Параметрические - колеб, кот. происходят за счет внешних сил, периодически изменяющих какой-либо параметр системы (напр. изменение длины нити маятника).

Колеб. наз. периодич., если значения всех физ. величин, хар-щих колеб. Систему и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежутки времени.

Наименьший промежуток времени Т, удовлетворяющий этому условию, наз. периодом колебаний.

За период колеб. Т система совершает одно полное колебание.

Частотой периодич. колебаний наз. величина равная числу полных колебаний, совершающихся за единицу времени.

Циклической, или круговой частотой, периодич. колеб. наз. величина и равная числу полных колебаний, совершаемых за единиц времени.

 

Гармонические колебания

При периодич. колеб. зависимость колеблющейся величины S от времени t удовлетворяет условию S(t+T)=S(t).

Периодич. колеб. величины S(t) наз. гармоническими колебаниями, если величина S(t) совершает колебания по закону синуса или косинуса. , где величина A = Smax=const >0 есть мах значение колеблющ. величины S и наз. амплитудой коелбаний, и постоянные величины.

Значение S(t) в произвольный момент времени t опред. значением фазы колебаний Ф(t)= ; Ф₁(t)= величин и представляют собой начальные фазы колебаний, т.е. значение Ф(t) и Ф₁(t) в момент времени t=0 начала отсчета времени .

Запишем гармонич. колебание в виде уравнения S(t)=Asin(), где S(t) – величина смешения м.т. из положения равновесия, тогда 1-я и 2-я произв., т.е v и a колеблющегося тела запишется в виде формулы ; , причем амплитуды скорости и ускорения соответственной равны и .

Начальная фаза скорости = , т.е разность фаз колебаний скорости и смешение S(t) постоянны и = . Это значит, что величина опережает S(t) по фазе на .

Начальная фаза ускорения равна , т.е. разность фаз. Колебаний ускорения и S(t) постоянна и = .

Графики зависимости величин S (а), (б), (в) для гармонических колебаний в случае показаны на рис. (S(t)=Acos….).

Если гармонически колеблющаяся величина , , то гармонически колеблющаяся величина S(t) удовлетворяет ДУ типа .

Общее реш. этого ДУ приводится к стандартному виду гармонич. колеб. , т.е величина S совершает гармонич. колеб. в том и только в том случае, если она удовлетворяет ДУ (1). Это ур-ние наз. ДУ гармонич. колеб.

 

Метод вект. диаграмм

Гармонич. колеб. можно изобразить графически в виде вектора на плоскости.

Для этого из нач. коорд. т.О на плоскости проводят вектор , модуль кот. = амплитуде A рассматриваемых колебаний и составляет с осью координат Ох угол , т.е. = фазе колебаний в данный момент времени. С теч. времени t угол увелич. так, что вектор равномерно вращается вокруг т.О с угловой скоростью, равной циклич. частоте колебаний . Тогда проекция на ось Oy совершает гармонич. колеб. по закону

Графическое изображение гармонич. колебаний посредствам вращающегося вектора амплитуды наз. методом векторных диаграмм.

Этим методом широко пользуются при сложении одинаково направленных гармонич. колеб.

 

Сферическая и стоячие волны

Волна наз. сферич., если ее волновые пов-ти имеют вид концентрических сфер. Центр этих сфер наз. центром волны.

Ур-ние расходящ. сферич. волны имеет вид , где – расстояние от центра волны до рассматриваемой т.М среды; - ск-ть волны.

Ур-ние синусоид. сферич. волны: , где – амплитуда волны; - физ. величина, численно равная амплитуде волны на единичном расстоянии от ее центра; - нач. фаза колебаний в центре волны.

Распространение плоской и расходящейся сферических волн в однородной изотропной среде описывается ДУ частных производных, кот. наз. волновым ур-нием или , где и наз. оператором Лапласа скалярного поля.; – физ. величина, кот. хар-ет возмущение, распространяющееся в среде со скоростью .

Скорость распространения синусоид. волны наз. фазовой ск-тью. Она равна ск-ти перемещения в пр-ве точек пов-ти, соответствующей любому fix значению фазы синусоид. волны.

Для плоской синусоид. волны мы имеем выражение для фазы .

Продиф-ем это выр. один раз по t и по x.