Поступат. и вращат. движ. тв. тела.

Поступат. движ. тв. тела наз. такое его движ., при кот. любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь || своему первонач. положению.

При поступат. движ. тв. тела все его точки перемещаются совершенно одинаково, т.е. за малое время ∆t радиус-векторы этих точек изменяются на одну и ту же величину .

Движение тв. тела, при кот. 2 его точки A и B остаются неподвижными, наз. вращением тела вокруг неподвижной оси.

Положение тела в пр-ве при вращении полностью опред. значением угла поворота тела из некоторого нач. положения.

Хар-кой быстроты и направления вращения тела вокруг оси служит угловая ск-ть.

Угл. ск-тью наз. , кот. численной равен 1-й произв. от угла поворота по времени t и направлен вдоль неподвижной оси вращения так, чтобы из конца вращение тела было видно происходящим против часовой стрелки.

По величине , а , где – вектор элементарного поворота тела за время и направленный вдоль оси вращения так же как .

Произвольная т.М тв. тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ с углов. ск-тью описывает окружность радиуса R центром в т.O^I. Линейная ск-ть V м.т. М, направленная по касательной, и наз. лин ск-тью. Эта ск-ть направлена как к оси вращения Oz, т.е. к , так и к , проведенному из т.О и = векторному произведению. по модулю эта ск-ть = ) = .

Движение тв. тела, при кот. одна из его точек остается неподвижной, наз. вращением тела вокруг неподвижной точки. Обычно эту точку выбирают за начало неподвижной сист. коорд.

При вращении вокруг неподвижной точки все точки тела движутся по поверхности концентрических сфер, центры кот. нах-ся в неподвижной точке.

В каждый ∞ малый промежуток времени это движение тела можно рассм. как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку. Эта ось наз. мгновенной осью вращения.

Для хар-ки быстроты изменения вектора угловой ск-ти тела при неравномерном вращении тела вокруг неподвижн. оси или неподвижн. точки вводится вектор углового ускорения тела, равный 1-й произв. от его угл. ск-ти по времени t или 2-й произв. от угла поворота тела по времени t:

Когда тело вращ. вокруг неподвижy. оси, то этот вект. направл. вдоль оси вращения:

а)в ту же сторону, что и при ускоренном вращении.

б)в противоположную сторону при замедленном вращении.

Проекция угл. Ускорения на неподвижную ось вращения Oz = , где – проекция угл. ск-ти на ось Oz.

 

 

Сила

Силой наз. вект. величина, являющаяся мерой мех. действия на рассматриваемое тело со стороны других тел. Мех. взаимодействие может осущ. как между непосредственно контактирующими телами посредством трения, давления и т.д., так и между удаленными телами.

Форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной ск-тью действия одних частиц на другие, наз. физ. полем, или просто полем.

Взаимодействие между удаленными телами осущ. посредством создаваемых ими гравитационных или электромагнитных полей.

Мех. действие на данное тело со стороны других тел проявляется двояко: оно способно вызывать:

1)изменение состояния мех. движения рассматриваемого тела.

2)его деформацию.

Сила полностью определена, если заданы ее модуль, направление в пр-ве и точка приложения.

Прямая, вдоль кот. направлена сила, наз. линией действия силы.

Поле, действующее на м.т. с силой , наз. стационарным полем, если оно не изменяется с теч. времени t

Одновременное действие на м.т. М нескольких сил , … эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей, или результирующей силой, и равной вект. сумме всех действующих сил + …+ =

 

Масса и Импульс тела

В класс. Ньютоновской мех-ке массой матер. т. наз-ся полож-ая, скалярн. величина, яв-ся мерой инертности этой точки. Под действием силы мат.т. изменяет свою скорость не мгновенно, а постепенно, т.е. приобр. Конечное по величине ускор-е, кот. тем меньше, чем больше масса мат.т.

Для сравн. масс m1 и m2 2-х мат.т. достаточно измерить модули a1 и a2 приобретенными этими т. Под действием одной и той же силы F.

В класс. Ньют. мех-ки считается, что:

1) масса мат.т. не зависит от состояния движ-я т., явл-ся ее неизмен-ой хар-кой.

2) масса величина одитивная, т.е. масса ситемы равна сумме всех мат.т. вход. в состав этой сист.

3) масса замкн. сист. Остается неизмен. при любых процессах, происх. в этой сист.

Векторная величина = произв. масс на наз-ся импульсом или кол-ом движения этой мат.т.

2 закон Ньютона:
Скорость изм-я импульса мат.т. = действ-щей на нее силе , сумме сил, действ. на данную мат.т.

Динамическое ур-е 2-го закона Ньютона:

или исп. ур-е импульса: , т.к. m=const: ;
.

Ускорение мат.т. совпадает по напр-нию с действ. на нее силой и равно отношению этой силы к массе мат.т.

При криволин. движ. тангексальное и центр. уск-е мат.т. опред. соотв. сост. силы F.

;

;

ДУ движ-я мат.т. наз-ся ур-е

В проекц. на оси декарт.сист.коорд это динамическое ур-е имеет вид:
, , .

3 закон Ньютона

Силы с кот-ми взаимодействуют 2 мат.т равны по модулю, противоположны по напр-ию и направлены вдоль прямой, соед. эти точки.

Из 3-го закона следует что в любой замкнутой механ. сист. геометр. сумма всех внутр. сил равны нулю

Вектор ,т.е. век-р всех внешних сил, равный геомтр. сумме всех внешн.сил

, действ.на сист., наз-ся главным вектором внешн. сил.

Исп. 2-ой закон Ньютона:

эта формула выражает з-н изменения импульса сист.

 

Центр масс

Если сист. сост. из N м.т., то в этом случае вводится понятие центра масс.

Центром масс сист. м.т. наз. т.С, положение кот. опред. радиус-вектором , кот. , где масса и радиус-вектор i-той м.т. N-общее число м.т-ек в сист., – масса всей системы.

В проекциях на ПДСК координата центра масс запишется ; .

Центр масс(центр инерции) сист. м.т. совпадает в однородном поле силы тяжести с центром тяжести системы.

Ск-ть центра масс запишется формулой (1). Где - импульс системы.

Согласно ур-нию (1) суммарный импульс сист. м.т. можно представить в вилле произведения массы системы на ск-ть центра масс.

Тогда ур-ние движения центра масс запишется в виде , где m – масса системы, - ускорение центра масс.

Если изучаемая сист. явл. тв. телом, движущимся поступательно, то ск-ть точек тела и ск-ть центра масс одинаковы и равны тв. тела. Тогда ускорения тв. тела = уск. сист. м.т. () и основное ур-ние динамики поступат. движ. тв. тела имеет вид .

 

Закон сохранения импульса

Рассм. сист., состоящую из N матер. точек. Обозначим через силу, с кот. k-я м.т. действует на i-ю.

Символом обозначим результирующую всех внешних сил, действующих на i-ю частицу. Тогда динамическое ур-ние движ. запишется в виде

+ …+ +

+ …+ +

+ …+ +

Где – импульс i-й частицы, внешние силы, действующие на м.т.

Чтобы получить ур-ние движения такой сист., мы должны суммировать все силы, действующие как внутри сист., так и на сист., тогда левая часть этой суммы есть производная по t от суммарного импульса сист.

Правая часть содержит ∑ всех внутренних действующих в сист. сил и сумму внешних сил, действующих на сист.

Согласно 3-му з.Ньютона, результирующая всех внутр. сил = 0, т.к. каждая сумма сил в скобке = 0, т.е .

Учитывая, что рав-во для суммарного импульса мы можем записать (1).

В этой сумме правая часть есть сумма всех внешних сил, т.е. производная по времени от суммарного импульса сист. = сумме внешних сил, действующих на тела системы.

Если сист. замкнута(консервативна), то внешние силы отсутствуют, сумму всех , то в ур-нии (1) правая часть = 0.

Такое выр. указывает, что и закон сохр. импульса сформулируется след. образом: суммарный импульс замкнутой сист. м.т. остается постоянным.

В отличие от законов Ньютона, закон сохр. импульса принадлежит к числу фундаментальных физ. законов. Он связан с определенным св-вом симметрии пр-ва, его однородностью, кот. проявляется в том, что физ. св-ва замкнутой сист. и законы ее движения не зависят от выбора положения начала координат инерциальной сист. отсчета, т.е. эти законы не изменяются при || переносе в пр-ве замкнутой сист. как целого.

 

Движение тела перем. массы

В Ньютоновской мех-ке масса тела может изменяться в незамкнутой системе только в рез-те отделения от тела или присоединения к нему частиц вещества(прим: ракета).

В процессе полета масса ракеты постепенно уменьшается.

Ур-ние поступат. движ. тела перем. массы, или ур-ние Мещерского, запишется в виде:

где и - масса и ск-ть тела в рассматриваемый момент времени, - главный вектор внешних сил, действующих на тело, - ск-ть частиц после отделения от тела, если , или ск-ть присоединения, если

Ур-ние Мещерского отличается от 2-го зак.Ньютона доп. членом . Этот доп. член правой части ур-ния представляет собой доп. силу, действующую на тело переменной массы. Эта сила наз. реактивной силой где - ск-ть отделяющихся либо присоединяющихся частиц, т.е. их ск-ть по отношению к сист. отсчета, движущаяся поступательно вместе с телом, напр. ракетой.

Реактивная сила хар-ет мех. действие на тело отделяющихся либо присоединяющихся к нему частиц.

Ур-ние движения ракеты в отсутствие внешн. сил записывается в виде:

Если нач. ск-ть ракеты =0 в момент старта, то ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном относительно ск-ти струи газа. В этом случае и при связь между ск-тью ракеты и ее массой по модулю выражается формулой Циалковского , где – начальная, стартовая масса ракеты с топливом и окислителем.

Max ск-ть, кот. может развить ракета в отсутствии внешних сил, наз. характеристической ск-тью. Эта ск-ть достигается в момент работы двигателя, когда иссяк весь запас топлива. где - начальная масса топлива и окислителя.

Влияние тяготения земле и сопротивления воздуха (т.е внешние силы ) уменьшают max ск-ть ракеты.

Хар-кая ск-ть составной многоступенчатой ракеты опред. формулой: где n – общее число ступеней ракеты; - масса топлива и окислителя, предназначенных для работы i-той ступени; - cr-nm истечения газов i-той ступени; - стартовая масса многоступенчатой ракеты, включающей все ступени.

Увеличения хар-кой ск-ти многоступ. ракеты происходит за счет последовательного уменьшения ее массы, за счет отделения от нее ступеней ракеты.

 

Момент силы

Для хар-ки внешнего мех. воздействия на тело, приводящее к изменению его вращательного движения, вводят понятие момента силы.

Моментом силы относит. Неподвижной т.О – полюса наз. вект. величина , равная вект. произведению , проведенного из т.О в место приложения силы , на вектор силы . .

Направление опред. по правилу буравчика: если от производить вращение по наименьшему углу в направлении силы , то вектор момента силы будет направлен по направлению буравчика.

Модуль момента силы: ), α= где α – наим. угол между векторами и . – длина перпендикуляра ОВ, опущенного из т.О на линию действия силы, где – наз-ся плечом силы относительно т.О. когда приложена к одной из точек тв. тела, то хар-ет способность силы вращать тело вокруг т.О, относит. кот. берется этот момент силы.

Проекция на произвольную ось z, проход. через т.О, наз. моментом силы относительно этой оси z.

 

Момент импульса

а) моментом импульса, или моментом кол-ва движения м.т. относит. неподвижной т.О (полюса), наз. , равный вект. произвед. проведенного из полюса О в место нахождения м.т., на вектор импульса этой точки. , где - масса и ск-ть м.т.

б) моментом импульса сист. м.т-ек относительно неподвижной т.О наз. сумма моментов импульса относительно этой же т.О всех м.т-ек системы. , где - масса, радиус-вектор и ск-ть i-той м.т., n – общее число этих точек в системе.

Модуль моменты импульса запишется как модуль вект. произвед.

. Если частица движется прямолинейно, то момент импульса может изменяться только за счет изменения модуля вектора ск-ти.