Главные радиусы кривизны, длины дуг

 

Положение любой точки на эллипсоиде может быть однозначно задано двумя координатами, представляющими собой расстояния или углы относительно некоторых плоскостей, линий или точек, принятых за начало отсчета.

В судовождении используется географическая (геодезическая) система координат, в которой координатными линиями являются меридианы и параллели, а координатами – широта и долгота.

Сечение земного эллипсоида плоскостью, проходящей через его ось, называется меридианным эллипсом, а часть эллипса, заключенная между полюсами (точками пересечения оси с поверхностью эллипсоида) называется меридианом.

Сечение земного эллипсоида плоскостью, перпендикулярной его оси, представляет собой окружность, которая называется параллелью. Параллель с наибольшим радиусом (которая находится в плоскости, проходящей через середину оси земного сфероида), называется экватором.

Меридианы и параллели образуют географическую координатную сетку.

Принимая один из меридианов за начальный, можно задать положение любого другого меридиана двугранным углом плоскостью начального меридиана и плоскостью данного меридиана. Этот угол называется долготой λ. За начальный с 1884г. принят Гринвич меридиан. От него долготы отсчитываются к востоку (со стороны Северного полюса – против часовой стрелки) и западу в пределах 180⁰ с указанием наименования или знака. Восточные долготы обычно считаются положительными, а западные – отрицательными. Во всех точках одного меридиана долгота одинакова (λ = const).

Широта φ определяется как угол между нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора. Широта измеряется в пределах от 0 до 90⁰ к северу и югу от экватора и записывается с указанием наименования или знака. Северные широты считаются положительными, а южные – отрица

 

тельными. Постоянному значению широты (φ = const) соответствуют точка, лежащие на одной параллели.

Одним из важных достоинств описанной системы координат является то, что она позволяет решать задачу астрономического определения места судна на земном эллипсоиде по формулам сферической тригонометрии (без ввода каких-либо поправок для учета сфероидичности Земли).

Важными геометрическими характеристиками поверхности земного сфероида являются главные радиусы кривизны, величины которых учитываются при выводе ряда формул и решении некоторых задач навигации. Главными называются экстремальные значения радиусов кривизны поверхности в данной точке. Для эллипсоида вращения главными являются радиус кривизны меридианного сечения Μ и радиус кривизны нормального сечения Ν.

Рассмотрим элементарный отрезок ds дуги меридианного эллипса (рис.5).

 

 

 

Рисунок 2.3 – Длина дуги земного меридиана

Длина дуги равна произведению радиуса ее кривизны М на соответствующий центральный угол dφ:

ds = M dφ. (2.1)

Проекция dx отрезка дуги ds на плоскость параллели равна

dx = -ds sinφ,

откуда

 

ds = -dx / sinφ. (2.2)

Знак минус показывает, что с увеличением широты расстояние х от оси земного эллипсоида до точки на его поверхности уменьшается.

Сравнивая соотношения (2.1) и (2.2), получаем

. (2.3)

Производную dx / dφ можно рассматривать как скорость изменения радиуса параллели r = x при изменении широты φ. Для определения этой производной найдем зависимость радиуса параллели от элементов земного эллипсоида , е и широты φ.

Уравнение эллипсоида в каноническом в каноническом виде

(2.4)

Это уравнение будет описывать меридианный эллипс, если ось У совпадает с осью зеного сфероида. Продифференцируем данное уравнение и найдем производную dy/dx: (2.5)

Откуда . (2.6)

 

 

 

Известно, что производная функции одной переменной численно равна тангенсу угла между касательной к кривой, выражающей эту функцию, и ось абсцисс.

 

 

Рисунок 2.4 - Угол между нормалью к меридианному эллипсу

и осью абсцисс

В нашем случае известен угол между нормалью к меридианному эллипсу и осью абсцисс, равный широте φ (рис.2.4). Касательная к эллипсу перпендикулярна нормали, поэтому

(2.7)

Поскольку левые части выражений (2.6) и (2.7) совпадают, равны и правые их части:

,

откуда

.

Подставим полученное соотношение в уравнение (2.5):

.

После сокращений

. (2.8)

Найдем отсюда явную зависимость х от φ:

. (2.9)

Эту зависимость чаще используют в преобразованном виде. Рассмотрим подкоренное выражение

После подстановки последнего выражения в формулу (2.9) получаем

, (2.10)

где .

Для определения радиуса кривизны меридианного сечения необходимо найти dx / dφ.

где .

С учетом данного выражения

.

Подставляя значение производной dx / dφв формулу (2.5),

. (2.11)

Величина W, являясь функцией широты φ, монотонно уменьшается от 1 на экваторе до на полюсе. Поэтому на экваторе М имеет минимальное значение, равное а(1-е²), а на полюсе М достигает максимума, равного .

Для определения радиуса кривизны нормального сечения N воспользуемся теоремой Менье, согласно которой радиус параллели r = х = Ncosφ, откуда

N = х / cosφ

Учитывая полученное ранее соотношение (2.10), находим

N = / W (2.12)

Подстановка в эту формулу значений W показывает, что на экваторе N= (это минимальное значение N), а на полюсе , т.е. N совпадает по величине с М. Во всех точках земного сфероида, кроме полюса, N > M.

Зная М, можно вычислить длину одной минуты дуги меридиана, которая используется в качестве единицы измерения расстояний и называется морской милей. Обозначив через Δs отрезок меридиана, равный одной миле, имеет

Δs = М Δφ, (2.13)

где Δφ=arc1^'=1/3438.

Величина М зависит от φ и от параметров земного эллипсоида и е. Задаваясь параметрами эллипсоида Красовского и выполняя расчеты по формулам (18) и (20), видим как изменяется длина одной мили Δs в зависимости от широты φ:

φ^0
Δs, м

 

 

Поскольку величина Δs является переменной, при решении многих задач используется стандартная морская миля, равная 1852 м.

Во многих задачах навигации требуется рассчитать длину дуги параллели ΔW, соответствующую определенной разности долгот Δλ. Величина ΔW, называется отшествием, вычисляется как произведение радиуса параллели r на разность долгот Δλ. Принимая r = ч, на основании формулы (2.10) получаем:

(2.14)

Подставляя в эту формулу Δλ в угловых минутах, получим ΔW в тех же единицах, что и . Величина arc1^'/ изменяется от 1855м/мин. на экваторе до 1862 м/мин. на полюсе (для эллипсоида Красовского) и в приближенных расчетах принимается равной 1 миля/мин. Поэтому часто используется следующее соотношение между разностью долгот и отношением:

ΔW= Δλcosφ, (2.15)

где Δλ – в угловых минутах;

ΔW – в милях.