Временной ряд. Тренд, сезонная и циклическая компоненты. Модели тренда. Случайная компонента.

Временной ряд

Временной ряд — это последовательность чисел; его элементы — это значения некоторого протекающего во времени процесса. Они измерены в последовательные моменты времени, обычно через равные промежутки.

Элементы временного ряда, — нумеруют в соответствии с номером момента времени, к которому они относятся (например, x1, x2, x3 и т.д.). Порядок следования элементов временного ряда имеет существенное значение. Нельзя переставлять элементы местами.

Закономерное течение явления вмешивается случай в виде случайных импульсов, случайных помех, случайных ошибок и т.д. Поэтому изучение временных рядов — это составная часть прикладной статистики.

Цели изучения временных рядов:

ü краткое (сжатое) описание характерных особенностей ряда;

ü подбор статистической модели (моделей), описывающей временной ряд;

ü предсказание будущих значений на основе прошлых наблюдений;

ü управление процессом, порождающим временной ряд.

Тренд сезонная и циклическая компоненты

При выборе модели детерминированной компоненты должны прежде всего учитываться содержательные соображения, то есть те объективные факторы и закономерности, которые приводят к ее формированию.

В экономических (и многих других) приложениях в детерминированной компоненте временного ряда dt обычно выделяют три составляющих части: тренд trt, сезонную компоненту st и циклическую компоненту ct.

Определение. Трендом временного ряда при t = 1,..., n называют плавно изменяющуюся, не циклическую компоненту, описывающую чистое влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно.

Определение. Сезонная компонента временного ряда при t =1,..., n описывает поведение, изменяющееся регулярно в течение заданного периода (года, месяца, недели, дня и т.п.). Она состоит из последовательности почти повторяющихся циклов

Определение. Циклическая компонента временного ряда описывает длительные периоды относительного подъема и спада. Она состоит из циклов, которые меняются по амплитуде и протяженности.

Модели тренда

Линейная

Полиномиальная , обычно

Логарифмическая

Логистическая

Гомперца

Полигармоническая модель используется в технических приложениях.

Определение. Говорят, что временной ряд описывается полигармонической моделью, если он представлен в виде:

где ωk = 2π/pk, а εt является белым шумом.

Случайная компонента

Для описания нерегулярной компоненты и всего временного ряда в целом используют понятие случайного (стохастического) процесса или случайной последовательности (как процесса от целочисленного аргумента).

Определение. Случайным процессом X(t), заданном на множестве T, называют функцию от t, значения которой при каждом t ∈ T является случайной величиной.

Если T — конечное множество, то случайный процесс — это просто совокупность случайных величин. Для статистического описания такой совокупности надо указать распределение вероятностей в конечномерном пространстве. Для этого можно использовать многомерную функцию распределения или плотности, если распределение непрерывное.

Если T — бесконечное множество, то для описания бесконечной совокупности случайных величин (которые в этом случае и составляют случайный процесс) применяется следующая конструкция.

Определение. Говорят, что случайный процесс X(t) задан, если для

каждого t из T определена функция распределения величины X(t):

для каждой пары элементов t1, t2 из T определена функция распределения двумерной случайной величины X(t1), X(t2))

и вообще для любого конечного числа элементов t1, t2,..., tn из множества T определена n -мерная функция распределения величины (X(t1), X(t2)..., X(tn))

Временной ряд. Модели случайной компоненты. Авторегрессия. Скользящее среднее. Стационарность. Стационарность в узком смысле.

Временной ряд

Временной ряд — это последовательность чисел; его элементы — это значения некоторого протекающего во времени процесса. Они измерены в последовательные моменты времени, обычно через равные промежутки.

Элементы временного ряда, — нумеруют в соответствии с номером момента времени, к которому они относятся (например, x1, x2, x3 и т.д.). Порядок следования элементов временного ряда имеет существенное значение. Нельзя переставлять элементы местами.

Закономерное течение явления вмешивается случай в виде случайных импульсов, случайных помех, случайных ошибок и т.д. Поэтому изучение временных рядов — это составная часть прикладной статистики.

Цели изучения временных рядов:

ü краткое (сжатое) описание характерных особенностей ряда;

ü подбор статистической модели (моделей), описывающей временной ряд;

ü предсказание будущих значений на основе прошлых наблюдений;

ü управление процессом, порождающим временной ряд.

 

Модели случайной компоненты

Гауссовские случайные процессы.

Все конечномерные распределения этих процессов являются нормальными. Для полного описания нормальных случайных процессов достаточно указать его двумерные распределения.

Определение. Пусть T — множество типа t = 0, 1, 2,... или t = 0,±1,±2,... Случайный процесс X(t) называется последовательностью независимо распределенных случайных величин, если

для любых наборов чисел t1, t2,..., tn

Ft1,t2,...,tn(x1, x2,..., xn) = Ft1 (x1) · Ft2 (x2) ·... · Ftn(xn)

Определение. Белым шумом называют временной ряд (случайный процесс) с нулевым средним, если составляющие его случайные величины X(t) независимы и распределены одинаково (при всех t).

Гауссовский белый шум — это последовательность независимых нормально распределенных случайных величин со средним 0 и общей дисперсией (скажем, σ2).