Непараметрические критерии проверки однородности в однофакторном анализе. Критерий Краскела – Уоллиса.

Если мы ничего не знаем о распределении наблюдений, то непосредственно использовать для проверки нулевой гипотезы количественные значения наблюдений x_ij становится затруднительно. В этом случае проще всего опираться в своих выводах только на отношения «больше–меньше» между наблюдениями, так как они не зависят от распределения наблюдений. При этом вся информация, которую мы используем из таблицы уровней факторов, содержится в тех рангах, что получают числа x_ij при упорядочении всей их совокупности. Соответствующие критерии для проверки нулевой гипотезы называются ранговыми, они пригодны для любых непрерывных распределений наблюдений. Более того, они годятся и тогда, когда измерения x_ij сделаны в порядковой шкале, например, являются тестовыми баллами или экспертными оценками. Здесь конкретные численные значения величин x_ij вообще являются условностью, а содержательный смысл имеют лишь отношения «больше–меньше» между ними.

Мы будем в основном рассматривать наиболее ясный и простой случай, когда среди чисел x_ij нет совпадающих (и потому нет трудностей в назначении рангов). При наличии совпадений (и использовании средних рангов) теоретическая схема действует как приближенная, а надежность ее выводов снижается тем больше, чем больше совпадений.

Упорядочим величины x_ij (все равно как—от большего к меньшему, либо от меньшего к большему). Обозначим через rij ранг числа x_ij во всей совокупности.

Общая методика проверки статистических гипотез рекомендует нам сконструировать некоторую статистику, т.е. в данном случае функцию от рангов r_ij, которая бы легла в основу критерия проверки гипотезы. Основное требование к этой статистике следующее: ее распределение при гипотезе H₀ должно заметно отличаться от ее распределения при альтернативах.

Критерий Краскела – Уоллиса (произвольные альтернативы).

Если мы не можем сказать что-либо определенное об альтернативах к H₀, можно воспользоваться для ее проверки свободным от распределения критерием Краскела–Уоллиса. Для этого заменим наблюдения x_ij их рангами r_ij, упорядочивая всю совокупность ||x_ij|| в порядке возрастания (для определенности). Затем для каждой обработки j (т.е. для каждого столбца исходной таблицы) надо вычислить

– средний ранг по столбцу

Составляя общую характеристику, разумно учесть различия в числе наблюдений для разных обработок и взять в качестве меры отступления от чистой случайности величину

Первый множитель нужен для стабилизации статистики Н при большом числе наблюдений. N=m*n – всего чисел в таблице.

Другая формула:

Таблицы и асимптотика. Небольшие таблицы распределения статистики H при гипотезе H₀ можно найти в сборниках статистических таблиц. При больших объемах n₁,..., n_k, которые находятся за пределами таблиц, случайная величина H (при гипотезе H₀) приближенно распределена как хи-квадрат с (k − 1) степенями свободы

Совпадающие значения: Если при переходе к таблице рангов мы имеем дело с большим количеством совпадающих значений, то используют модифицированную формулу:

t_j - число совпадающих наблюдений в группе с номером j, g – число групп с совпадениями.

 

Непараметрические критерии проверки однородности в однофакторном анализе. Критерий Джонкхиера.

Первая часть – стр. 9-10

Критерий Джонкхиера.

Нередко исследователю заранее известно, что имеющиеся группы результатов упорядочены по возрастанию влияния фактора. Пусть, для определенности, первый столбец таблицы значений факторов отвечает наименьшему уровню фактора, последний — наибольшему, а промежуточные столбцы получили номера, соответствующие их положению. В таких случаях можно использовать критерий Джонкхиера, более чувствительный (более мощный) против альтернатив об упорядоченном влиянии фактора.

Разумеется, против других альтернатив свойства этого критерия могут оказаться хуже свойств критерия Краскела–Уоллиса.

Статистика Джонкхиера. Разберем сначала, как устроена статистика этого критерия в случае, когда сравниваются только два способа обработки. Таблица факторов в этом случае имеет два столбца. Фактически здесь речь идет о проверке однородности двух выборок. Эта задача решалась с помощью статистики Манна-Уитни.

Пусть имеется 2 выборки различной длины.

– статистика Манна – Уитни

Обратившись теперь к общему случаю, когда сравниваются k способов обработки, поступим следующим образом. Для каждой пары натуральных чисел u и v, где 1 ≤ u < v ≤k, составляем по выборкам с номерами u, v статистику Манна–Уитни.

Определяем статистику Джонкхиера J как сумму статистик Манна-Уитни.

Свидетельством в пользу альтернативы упорядоченности эффектов (против гипотезы однородности) служат большие значения статистики J, полученные в эксперименте.

Для больших выборок в отношении J действует нормальная аппроксимация:

- матожидание

– дисперсия

Свидетельство против гипотезы однородности – большие значения статистики: