Виды графов. Изоморфизм графов.

Любая система, предполагающая наличие дискретных состояний или наличие узлов и переходов между ними может быть описана графом. Соединения между узлами (V) графа называются ребрами (E). Если узлы графа не нумерованы, то ребра являются неориентированными. У графа с нумерованными узлами ребра ориентированы и называются дугами
(рис. 2).

Пара вершин может быть соединена двумя или более ребрами (дугами), такие ребра (дуги) называются кратными. Вершины, соединенные ребром (дугой) называются смежными. Если ребро начинается и заканчивается в одной и той же вершине, то называется петлей.

Рис. 2. Примеры А) неориентированного и Б) ориентированного графов.

Число ребер, исходящих из вершины v_i(петля учитывается дважды), называется валентностью (степенью вершины) и обозначается:d(v_i).

Если V и E конечные множества, то и граф им соответствующий называется конечным. Граф называется вырожденным, если он не имеет ребер.

Неориентированный граф называется простым, если он не имеет петель и любая пара вершин соединена не более чем одним ребром. Графы отображаются на плоскости набором точек и соединяющих их линий или векторов. Грани могут отображаться и кривыми линиями, а их длина не играет никакой роли. Граф G называется планарным (плоским), если его можно отобразить в плоскости без пересечения его граней (рис. 5). Граф называется связным, если для любых двух вершин существует последовательность ребер их соединяющая (рис. 3), т.е. граф не имеет изолированных фрагментов (вершин, ребер). Граф называется полным, если любые две вершины соединены только одним ребром (рис.4). Если полный граф имеет n вершин, то количество ребер будет равно n(n-1)/2. Специальными видами графов являются деревья (рис. 6), кольца и списки, что не входит в рассмотрение нашего курса.

Граф, у которого все вершины имеют одну и ту же степень, называется регулярным графом.

Рис. 3. Пример связного плоского графа	Рис. 4. Пример полного графа	Рис. 5. Пример непланарного графа
ГрафG = (V, E) называется деревом, если: 1.в нем есть одна вершина, в которую не входят ребра; она называется корнем дерева; 2.в каждую из остальных вершин входит ровно по одному ребру; 3.все вершины достижимы из корня.	Рис. 6. Пример дерева

Часто на одном множестве объектов определено несколько различных бинарных отношений. Для представления такой ситуации служат мультиграфы. Мультиграфы будут использоваться для представления диаграмм конечных автоматов.

Ребро (дуга) и любая из его вершин называются инцидентными. Принято говорить, что (дуга) ребро (u, v) соединяет вершины u и v. Если вершина не инцидентна ни одному ребру (дуге), то она называется изолированной (d(v_i)=0), если принадлежит только одному ребру (дуге), то называется висячей (d(v_i)=1).

Основные положения о вершинах графа:

1. В графе G сумма степеней всех его вершин — число четное, равное удвоенному числу ребер графа, так как каждое ребро участвует в этой сумме ровно два раза. Этот результат называют леммой о рукопожатиях: если несколько человек обменялись рукопожатиями, то общее число пожатых рук обязательно четно, ибо в каждом рукопожатии участвуют две руки (при этом каждая рука считается столько раз, сколько она участвовала в рукопожатиях).

2. Число нечетных вершин любого графа четно.

3. Во всяком графе с n вершинами, где n ³2, всегда найдутся, по меньшей мере, две вершины с одинаковыми степенями.

4. Если в графе с вершинами n>2 две вершины имеют одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо одна вершина степени 0, либо одна вершина степени n - 1.

Два графа G₁=(V₁,E₁) и G₂=(V₂,E₂) называются изоморфными, если между их вершинами существует взаимно однозначное соответствие.

Алгоритм распознавания изоморфизма двух графов G₁(X, E)и G₂(Y,E)

1. Если X ≠ Y, то графы не изоморфны.

2. Выписываем все элементы обоих графов, определяя пары (x_i,x_j) и (y_i, y_j) для каждого элемента, где x_i, y_i - число исходов для каждой вершины обоих графов, а x_j, y_j – число заходов.

3. Для каждого элемента x графа G₁ ищем такой элемент y графа G₂, что выполняется условие: число исходов x совпадает с числом исходов y, и число заходов x совпадает с числом заходов y. Найденные элементы x и y соединяем дугой, т.е. строим граф соответствия. Если соответствия нет, то графы неизоморфны.

4. Выписываем подстановку, которая переводит граф G₁ в граф G₂.

 

Примеры выполнения заданий

1.

Докажите, что валентности вершин графов А и Б совпадают.

А Б

Решение: А) d(v₁)=2,d(v₂)=3,d(v₃)=3,d(v₄)=2,d(v₅)=3,d(v₆)=3.

Б) d(v₁)=2,d(v₂)=3,d(v₃)=3,d(v₄)=2,d(v₅)=3,d(v₆)=3.

2. Докажите, что графы G₁(X₁, E₁) и G₂(Y₂, E₂) изоморфны.

X2 X4 X5 X3 X1

Y4 Y3 Y5 Y1 Y2

Решение:

 

X1(3, 3)	X2(4, 4)	X3(3, 3)	X4(2, 2)	X5(2, 2)
Y1(4, 4)	Y2(2, 2)	Y3(3, 3)	Y4(3, 3)	Y5(2,2)

В результате получим подстановку:

Следовательно, графы G₁(X, E) и G₂(Y, E)изоморфны.