Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

Составим таблицу значений сочетаний для n,m = 0,1,2,3,4,5,6,7.

 

n \ m                     . . . . . . .       . . . . . .         . . . . .           . . . .             . . .               . .                 .	Эту таблицу можно неограниченно продолжать вниз и вправо. Она называется треугольником Паскаля. Еще удобнее ее записывать в виде равнобедренного треугольника.
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1	Треугольник Паскаля обладает свойством: каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним, поэтому таблицу можно без труда продолжать вниз, не прибегая к вычислению числа сочетаний. Нам знакомы формулы:

(a + b)¹ = a + b; (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Легко заметить, что коэффициенты в правых частях этих формул взяты из соответствующих строк треугольника Паскаля. Оказывается, при любом натуральном n справедлива формула Ньютона:

Правую часть формулы называют разложением степени бинома. Если вычисляется (а - b)ⁿ = (a + (-b))ⁿ, то далее знаки чередуются.

Задания для самостоятельного выполнения

1. Запишите разложение бинома:

0)(2x – y )^4;	1)(x + 3y)^4;
2)(5x – y )^4;	3)(x + 2y)^4;
4)(3x + y )^4;	5)(x – 2y)^4;
6)(2x – y )^4;	7)(x + 4y)^4;
8)(4x – y )^4;	9)(x + 3y)^4;

2. Вычислите без калькулятора:

0) ;	1) ;
2) ;	3) ;
4) ;	5) ;
6) ;	7) ;
8) ;	9) ;

3. Запишите разложение бинома:

0)(6n – 3m)^5;	1)(6n + 4m)^5;
2)(5m – 2n)^5;	3)(5n + 2m)^5;
4)(3m – 4n)^5;	5)(3n + 6m)^5;
6)(3n – 2m)^5;	7)(5m + 3n)^5;
8)(4n – 2m)^5;	9)(3n + 4m)^5;

 

Зачетные задания по теме «Комбинаторика»

Задание 1.

0) Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С – три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

1) Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 100 фехто­вальщиков каждое, надо выделить по одному фехтовальщику для участия в состязании. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?

2) Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида ма­рок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать кон­верт с маркой для посылки письма?

3) Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «камзол»?

4) Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?

5) Бросают игральную кость с шестью гранями и запускают волчок, имеющий восемь граней. Сколькими различными способами они могут упасть?

6) На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами •турист может подняться на гору и спуститься с нее? То же самое при условии, что спуск и подъем происходят по разным путям.

7) На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?

8) Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный? А если нет ограничений на цвет выбранных квадратов?

9) Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего надо выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами мо­жет быть сделан этот выбор?

Задание 2.

0) В местком избрано 9 человек. Из них надо выбрать предсе­дателя, заместителя председателя, секретаря и культорга. Сколь­кими способами это можно сделать?

1) Из состава конференции, на которой присутствует 52 чело­века, надо избрать делегацию, состоящую из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать?

2) Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров, если используют­ся 32 буквы русского алфавита.

3) Сколько различных перестановок можно получить, переставляя бук­вы в слове «математика»? В слове «парабола»?

4) В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколь­кими способами можно купить в нем 12 открыток? Сколькими спо­собами можно купить 8 открыток?

5) Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо вы­брать 6 человек так, чтобы среди них' было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?

6) Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами мо­гут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки?

7) Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз?

8) Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется ровно один туз?

9) Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется ровно два туза?

Задание 3. Записать все размещения из элементов множества А по два элемента с повторениями: 0) А = {2,7,9, 11}; 1) A = {x,y,z,t}; 2) A = {a,b,c,d}; 3) A = {X,Y,Z,T}; 4) А = {+,-,×,/}; 5) А = {!,#,%,+}; 6) А = {α,β,λ,δ} 7) А = {←,↑,→,↓}; 8) А = {В, П, М, Р}; 9) A = {Q,W,E,R}.	Задание 4. Записать все размещения из элементов множества А по три элемента без повторений:   0) А = {2,7,9, 11}; 1) A = {x,y,z,t}; 2) A = {a,b,c,d}; 3) A = {X,Y,Z,T}; 4) А = {+,-,×,/}; 5) А = {!,#,%,+}; 6) А = {α,β,λ,δ} 7) А = {←,↑,→,↓}; 8) А = {В, П, М, Р}; 9) A = {Q,W,E,R}.
Задание 5. Записать все сочетания из элементов множества А по два элемента без повторений: 0) А = {2,7,9, 11}; 1) A = {x,y,z,t}; 2) A = {a,b,c,d}; 3) A = {X,Y,Z,T}; 4) А = {+,-,×,/}; 5) А = {!,#,%,+}; 6) А = {α,β,λ,δ} 7) А = {←,↑,→,↓}; 8) А = {В, П, М, Р}; 9) A = {Q,W,E,R}.	Задание 6. Записать все сочетания из элементов множества А по три элемента с повторениями:   0) А = {2,7,9, 11}; 1) A = {x,y,z,t}; 2) A = {a,b,c,d}; 3) A = {X,Y,Z,T}; 4) А = {+,-,×,/}; 5) А = {!,#,%,+}; 6) А = {α,β,λ,δ} 7) А = {←,↑,→,↓}; 8) А = {В, П, М, Р}; 9) A = {Q,W,E,R}.
Задание 7. Записать все перестановки без повторений из элементов множества А:   0) А = {2,7,9, 11}; 1) A = {x,y,z,t}; 2) A = {a,b,c,d}; 3) A = {X,Y,Z,T}; 4) А = {+,-,×,/}; 5) А = {!,#,%,+}; 6) А = {α,β,λ,δ} 7) А = {←,↑,→,↓}; 8) А = {В, П, М, Р}; 9) A = {Q,W,E,R}.	Задание 8.Записать все: - размещения из элементов множества А по три элемента с повторениями; - размещения из элементов множества А по четыре элемента без повторений; - сочетания из элементов множества А по четыре элемента без повторений; - сочетания из элементов множества А по три элемента с повторениями; - перестановки из элементов множества А без повторений; 0) А = {1,3,5,7,8}; 1) А= {2,a,1,d,8}; 2) A = x,y,z,t,1; 3) A = a,b,z,t,2}; 4) A= {a,b,d,1,2}; 5) A = {a, b, c, d,х}; 6) A= {a,b,d,e,f}; 7 ) A = {x, y, a, b,6}; 8) A ={х,с,3,8,0}; 9) A = {с, b, 3, d, 4}.
Задание 9. Сколько трехзначных чисел, меньших заданного числа А, можно образовать, используя цифры 2,3,4,5,6,8,9 без повторений, если: 0) А=450; 1) А=350; 2) А=250; 3) А=420; 4) А=410; 5) А=380; 6) А=370; 7) А=430; 8) А=390; 9) А=460.	Задание 10. Сколькими способами N пар, пришедших в кино, могут занять места, если все пять пар сидят подряд и: 0) N=4; 1) N=5; 2) N=7; 3) N=6; 4 ) N=8; 5) N=9; 6) N=3; 7) N=10; 8) N=12; 9) N=11.
Задание 11. В соревнованиях участвуют N спортсменов. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если: 0) N=8; 1) N=7; 2) N=6; 3) N=9; 4 ) N=10; 5) N=5; 6) N=11; 7) N=12; 8) N=15; 9) N=14.	Задание 12. Сколько существует N-битовых строк, содержащих А нулей и К единиц, если: 0) N=8; А=3, К=5; 1) N=8; А=2,К=6; 2) N=8; А=4, К=4; 3) N=9; А=2,К=7; 4) N=9; А=3, К=6; 5) N=9; А=4, К=5; 6) N=10; А=3, К=7; 7) N=10; А=4, К=6; 8) N=10; А=2, К=8; 9) N=10; А=5, К=5.
Задание 13. В совете директоров компании, состоящего из n человек, при выборе президента за выдвинутую кандидатуру проголосовали k человек, против —j, воздержались — s. Сколькими способами может быть проведено такое голосование? 0) n=21, k=15, i=4, s=2; 1) n=23, k=17, i=3, s=3; 2) n=26, k=19, i=3, s=4; 3) n=27, k=16, i=7, s=4; 4) n=29, k=21, i=5, s=3; 5) n=28, k=14, i=10, s=4; 6) n=27, k=18, i=3, s=6; 7) n=26, k=20, i=2, s=4; 8) n=25, k=23, i=1, s=1; 9) n=24, k=16, i=5, s=3.	Задание 14. Сколькими способами из группы в n человек можно сформировать k групп по i человек, s групп по l человек и m групп из j человек, если: 0) n=15, k=3, i=2, s=2, l=2, m=2, j=1; 1) n=16, k=2, i=3, s=1, l=2, m=1, j=2; 2) n=18, k=3, i=1, s=2, l=3, m=2, j=1; 3) n=17, k=4, i=2, s=2, l=1, m=1, j=1; 4) n=19, k=3, i=3, s=1, l=2, m=3, j=2; 5) n=28, k=1, i=5, s=3, l=4, m=2, j=3; 6) n=27, k=2, i=3, s=1, l=2, m=2, j=3; 7) n=26, k=2, i=2, s=3, l=3, m=3, j=2; 8) n=25, k=3, i=2, s=3, l=2, m=2, j=2; 9) n=24, k=2, i=5, s=2, l=1, m=2, j=2.

 

Глава 3. Графы