Правила суммы и произведения

Правило суммы. Если объект А можно выбрать n способами, а объект В k способами, то объект " А или В " можно выбрать n+k способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать n способами, а объект В независимо от него k способами, то пару объектов " А и В " можно выбрать
n · k способами.

Задания для самостоятельного выполнения

0) В ящике находятся 20 шаров: 5 белых, 6 черных, 7 синих и 2 красных. Сколькими способами можно взять из ящика один цветной шар?

1) В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 18 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали, если любая команда может получить только одну медаль?

2) При формировании экипажа космического корабля имеется 10 претендентов на пост командира экипажа, 20 - на пост бортинженера и 25 - на пост космонавта-исследователя. Ни один кандидат не претендует одновременно на два поста. Сколькими способами можно выбрать одну из кандидатур или командира, или бортинженера, или космонавта-исследователя?

3) Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной и той же горизон­тали и вертикали?

4) Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну — на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

5) Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

6) В ящике лежат 4 черных и 3 белых шара. Наудачу вынимаются последовательно два шара. Какова вероятность того, что оба эти шара окажутся белыми? (Шар после выбора в ящик не возвращается.)

7) В столовой предлагают два различных первых блюда a₁ и а₂, три различных вторых блюда b₁, b₂, b₃ и два вида десерта с₁ и c₂. Сколько различных обедов из трех блюд может предложить столовая?

8) У англичан принято давать детям несколько имен. Сколь­кими способами можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен?

9) На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? То же самое при условии, что спуск и подъем происходят по разным путям.

 

Размещения без повторений

Размещениями из n элементов по m (m n) называются упорядоченные m -элементные выборки из данных n элементов .

Задания для самостоятельного выполнения

0) Составьте все слова из трех букв А, В, С по две буквы.

1) В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выбрать из класса команду из 4 учащихся для участия в олимпиаде по истории?

2) Сколькими способами можно составить двуцветный полоса­тый флаг, если имеется материал 5 различных цветов? Та же за­дача, если одна из полос должна быть красной?

3) Из состава конференции, на которой присутствует 45 чело­века, надо избрать делегацию из 6 человек. Сколькими способами это можно сделать?

4) В турнире принимают участие 8 команд. Сколько различных предположений относительно распределения трех первых мест можно сделать?

5) Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различны и нечетны?

6) Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя 6 различных цветов?

7) Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу?

8) На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)?

9) У Димы есть 5 шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими 5 елок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?

Размещения с повторениями

Размещениями с повторениями из n по m называются упорядоченные m-элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.

Задания для самостоятельного выполнения

0) Сколько четырехбуквенных «слов» можно составить из букв "М" и "А"?

1) Сколькими способами можно разместить восемь пассажиров в три вагона?

2) Каждый телефонный номер состоит из семи цифр. Сколько всего телефонных номеров, не содержащих других цифр, кроме 2, 3, 5 и 7?

3) Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами мо­гут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки?

4) Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из 32 букв алфавита (со смыслом и без)?

5) В селении проживает 2000 жителей. Доказать, что, по край­ней мере, двое из них имеют одинаковые инициалы.

6) Сколькими способами можно покрасить пять елок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски неограниченно, а каждую елку можно покрасить только в один цвет?

7) Каждую клетку квадратной таблицы 2 × 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

8) Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее «Спортпрогноз»'? Указание: в этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча - победа одной из команд либо ничья; счет роли не играет.

9) Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Указание: сосчитайте отдельно количества одно-, двух-, трех- и четырехбуквенных слов.

Перестановки без повторений

Перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n.

Пусть (a₁,a₂,…,a_n), — перестановка элементов множества {1, 2,...,n}.Пара (a_i, a_j) называется инверсией перестановки, если i < j, то a_i > a_j.

Таблицей инверсии перестановки (a₁,a₂,…,a_n) называется последовательность (d₁,d₂,…,d_n),где dj — число элементов, больших j и расположенных левее j.

 

Задания для самостоятельного выполнения

0) Сколькими способами можно расставить 7 книг на книжной полке?

1) Сколькими способами можно разложить 8 различных писем по 8 различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

2) Сколько ожерелий можно составить из семи бусин раз­ных размеров?

3) Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

4) Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «градус»?

5) Сколькими различными способами можно рассадить 6 человек на 6 креслах в кинотеатре?

6) Сколько всего шестизначных четных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 5, 7 и 9, если из этих чисел ни одна не повторяется?

7) Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли взять друг друга?

8) Сколько всего семизначных четных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7 и 9, если из этих чисел ни одна не повторяется?

9) Как велико число различных отображений, переводящих множество из n элементов в себя?

Перестановки с повторениями

Перестановки с повторениями вычисляются по формуле:

Задания для самостоятельного выполнения

0) Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр: 1, 1, 1, 5, 5, 9?

1) Сколькими способами можно расположить в ряд 2 зеленые и 4 красные лампочки?

2) Сколько всего шестизначных чисел, у каждого из которых цифра 2 встречается два раза, а цифра 3 - четыре раза?

3) Имеется 5 мест на флагштоке и 5 флагов: 2 красных и 3 белых. Сколько можно изобразить различных сигналов, если использовать все флаги одновременно?

4) Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «молоко»? В слове «караоке»? В слове «ингредиент»?

5) В магазине игрушек имеются 7 одинаковых Чебурашек и 2 одинаковых Крокодила. Сколькими способами их можно расставить в один ряд на витрине?

6) Сколькими способами можно разделить 40 одинаковых яблок а) между 4 мальчиками; в) чтобы каждый получил, по крайней мере, 3 яблока?

7) Сколькими способами в библиотеке можно расположить на одной полке 6 экземпляров романа «Овод», 7 экземпляров сказки «Золушка» и 8 экземпляров учебника Акимова «Дискретная математика»?

8) Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?

9) В магазине ``Все для чая'' продается 7 чашек, 5 блюдец и 6 чайных ложек. Сколькими способами можно распределить посуду с разными названиями?