Таким образом, плотность распределения вероятностей

Вычисление платы за страховку

 

Пусть в компании застраховано человек. Возьмем в качестве платы по - ому договору величину . Тогда резервный фонд (капитал) компании равен

,

и вероятность разорения определяется как

 

.

 

В случае нормального распределения получаем

 

.

 

в плату за страховку включаtv некоторую надбавку , которая бы компенсировала элементы случайности .

То есть плата за страховку будет теперь иметь вид:

 

. (11)

 

Тогда капитал компании будет равен

 

,

где .

Найдем вероятность неразорения компании

 

.

 

И если мы хотим, чтобы вероятность неразорения компании была равна , то должен быть равен квантилю , то есть

 

,

или

- (12)

 

величина добавочной суммы .

Так как в выражение (12) входит среднее квадратическое отклонение , то добавочная сумма действительно учитывает риск, связанный с непредсказуемостью убытков.

 

Распределение пропорционально ожидаемому убытку

Разделим сумму пропорционально ожидаемому убытку , то есть

 

. (13)

Просуммируем (13) по :

,

или

и

.

Тогда

. (14)

Здесь - нетто-премия, - страховая надбавка,

 

- (14’)

относительная страховая надбавка.

 

Распределение пропорционально дисперсиям

 

Недостатком назначения индивидуальных премий по правилу (13) является то, что оно несправедливо по отношению к договорам, которые имеют малую дисперсию , и потому оплачивают в большей степени случайности, связанные с договорами с большей дисперсией.

Поэтому можно разделить сумму пропорционально дисперсиям:

 

. (15)

 

Просуммировав по , получаем

 

,

или

.

 

Отсюда

.

Следовательно,

(16)

и относительная страховая надбавка

 

. (16’)

 

Распределение пропорционально средним квадратическим отклонениям

 

Если же разделить сумму пропорционально средним квадратическим отклонениям:

 

, (17)

то, просуммировав по , получаем:

,

или

.

Отсюда следует, что

.

Следовательно,

(18)

и

. (18')

С точки зрения страховой компании все равно, какое из трех правил (13), (15) или (17) применять для начисления надбавок , так как в любом случае она получит одну и ту же страховую сумму

 

.

 

16. МОДЕЛИ ДОЛГОСРОЧНОГО СТРАХОВАНИЯ ЖИЗНИ

 

Долгосрочное страхование жизни, в отличие от краткосрочного страхования, характеризуется тем, что при расчетах принимают во внимание изменение стоимости денег с течением времени. Годовая процентная ставка, используемая при этом, носит название технической процентной ставки или технического процента. Технический процент выбирается страховщиком в таком размере, чтобы при самых неблагоприятных обстоятельствах обеспечить выбранную доходность инвестиций. Поэтому теория долгосрочного страхования существенно опирается на методы расчетов, рассматриваемых в финансовой математике.

Общую модель страхования определяют две функции:

а) - величина страхового пособия, выплачиваемого в момент времени наступления страхового случая;

б) - момент выплаты страхового пособия – функция остаточного времени жизни застрахованного.

Величину страхового взноса с единицы страховой суммы называют тарифной ставкой или тарифом.

.

 

Страхование с выплатой страхового пособия в конце года смерти

 

Здесь речь идет о дискретных аналогах,когда выплата пособия производится в конце года смерти застрахованного, то есть в момент времени . Тогда, для:

а) дискретного полного страхования жизни:

 

, ; (1´)

 

б) - летнего дискретного временного страхования жизни:

 

, (3´)

 

в) - летнего дискретного смешанного страхования жизни:

 

, ; (4´)

 

г) полного дискретного страхования жизни, отсроченного на лет:

 

, (5´)

 

д) полного страхования жизни с переменной страховой выплатой, например, с ежегодно возрастающим пособием

 

, . (7´)

17. Принципы назначения нетто-премий. Полное страхование жизни.

 

Полное страхование жизни

 

Согласно формулам (1) и (9) получаем :

 

, (10)

 

и нетто-премия будет равна математическому ожиданию

 

.

Обозначив , можем получить:

.

А если ввести обозначение:

(11)

то

.

 

Функцию называют замещающей или упрощающей, используется также и термин – коммутационная функция.

Для упрощения записи вводят и выражения:

 

, (12)

, (13)

тогда

. (14)

Величины и также называются замещающими или упрощающими функциями. Они протабулированы в некоторых таблицах продолжительности жизни.

 

 

18. Расчет нетто-премий при п-летнем чисто накопительном, временном и, смешанном

непрерывном страховании жизни.

п -летнее чисто накопительное страхование жизни

 

Нетто-премия будет вычисляться как:

 

. (15)

 

 

Если же в № 8 воспользоваться упрощающими функциями, то:

 

(57,51%).

 

Видно, что аппроксимация законов продолжительности жизни моделью де Муавра несколько искажает результаты вычисления нетто-премий.

п -летнее временное страхование жизни

 

ВИДОВ СТРАХОВАНИЯ

 

Исходя из определения дискретных видов страхования, и понятия актуарной стоимости можно получить следующие формулы для вычисления нетто-премий:

1. Полное страхование жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни.

Где

, (22)

является дискретным анализом непрерывной упрощающей функции .

 

20. Расчет нетто-премий при п-летнем временном и смешанном страховании жизни с

выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни.

п - летнее временное страхование жизни с выплатой пособия в конце года смерти

 

. (23)

3. п - летнее смешанное страхование жизни с выплатой пособия в конце года смерти

 

. (24)

где .

 

4. Полное страхование жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни, отсроченное на т лет

. (25)

 

 

5. Полное страхование жизни с ежегодно возрастающем пособием и выплатой пособия в конце последнего года жизни

 

. (26)

Обозначив , можем записать в виде

.

Здесь - это дискретная упрощающая функция.

 

21. Связь между непрерывным и дискретным видами страхования жизни.

 

Дискретное страхование жизни- страховая сумма выплачивается в конце года смерти. Вычисления можно проводить непосредственно по таблицам продолжительности жизни.

Вычислив нетто-премии при дискретном страховании жизни, можно вычислить и нетто-премии при соответствующих видах непрерывного страхования. Для того чтобы связать между собой непрерывные и дискретные виды страхования необходимо сделать определенные предположения о законе распределения времени жизни для дробных возрастов.

Обычно предполагают, что этот закон – равномерный. Известно, что в этом случае случайные величины и независимы, и имеет равномерное распределение на . Тогда можем получить следующие формулы, связывающие нетто-премии для соответствующих непрерывных и дискретных видов страхования:

 

. (27)

, (28)

, (29)

, (30)

. (31)

Приведенные выше формулы позволяют вычислять разовые нетто-премии по непрерывным видам страхования через характеристики , , , которые достаточно просто вычисляются по данным, приводимым в общих таблицах продолжительности жизни.

 

22.. Анализ суммарного иска в модели долгосрочного страхования жизни.

Пусть в момент времени страховая компания заключила договоров страхования жизни. Обозначим через - премии, а через - величину страхового пособия, выплачиваемого по - ому договору в случайный момент времени . Расположим величины в порядке возрастания: . Тогда в момент времени капитал компании можно вычислить как

 

,

и компания не разорится, если будет выполнено условие вида:

,

 

где - современная стоимость выплаты по - ому договору страхования. Вероятность неразорения будет вычисляться по формуле:

 

, (32)

 

которая аналогична соответствующей формуле для краткосрочного страхования жизни. То есть расчет вероятности неразорения при долгосрочном страховании производится так же, как и при краткосрочном страховании с величинами убытков .

Тогда плата за страховку будет иметь вид:

 

, (33)

 

где - нетто-премия по - ому договору, а - соответствующая страховая надбавка, которая вычисляется аналогично краткосрочному страхованию жизни.

В простейшем случае, когда страховая надбавка делится пропорционально математическим ожиданиям, получаем:

 

. (34)

При более сложных моделях долгосрочного страхования не всегда удается выразить:

а) вероятность неразорения в виде простой формулы вида (32);

б) нетто-премии и страховые надбавки в виде (34).

Полная пожизненная рента

 

Простейшая пожизненная рента пренумерандо описывается следующим образом: начиная с момента времени , человек один раз в начале каждого года начинает получать определенную постоянную сумму, которую примем в качестве единицы измерения денежных сумм. Выплаты этой суммы производятся только во время жизни человека.

Обозначим через х возраст человека в момент времени начала платежей. Тогда выплаты будут производиться в моменты времени , где - остаточная продолжительность жизни. То есть имеем дело с годовой рентой пренумерандо со случайным числом выплат . Найдем современную стоимость такой ренты

 

, (1)

 

которая является случайной величиной. Здесь - годовая ставка дисконтирования.

Так как - современная стоимость полного дискретного страхования жизни, то

, (2)

 

поэтому расчет характеристик пожизненной ренты можно свести к расчету характеристик соответствующего дискретного страхования жизни.

Найдем актуарную современную стоимость пожизненной ренты (нетто-премию):

 

, (3)

или

. (4)

 

Для расчета защитной надбавки и оценки вероятности разорения компании необходимо уметь вычислять и дисперсию , а именно

 

, (5)

 

где вычисляется так же, как и в предыдущей главе.

Формула (4) получен методом суммарной выплаты, когда пожизненная рента рассматривается как сумма случайного числа детерминированных слагаемых. Можно применить и другой метод – метод текущего платежа, который рассматривает эту ренту как сумму детерминированного числа случайных слагаемых.

если при страховании рент речь пойдет о ренте постнумерандо, когда страховые выплаты будут производиться в конце соответствующего периода, то вычисление современной стоимости будет производиться по формуле:

 

.

 

24. Временная пожизненная рента.

Временная п - летняя пожизненная рента выплачивается начиная с момента времени пожизненно, но не более, чем п лет, поэтому современная стоимость такой ренты будет равна

 

(6)

 

Учитывая, что современная стоимость п – летнего дискретного смешанного страхования жизни определяется как:

получаем:

.

Поэтому современная актуарная стоимость такой ренты будет вычисляться как

(7)

где - нетто-премия при дискретном смешанном страховании жизни.

Для расчета защитной надбавки и оценки вероятности разорения компании необходимо уметь вычислять и дисперсию , а именно

.

Можем выразить и через характеристики жизни, рассмотренные ранее:

 

, (8)

 

 

25. Отсроченная пожизненная рента.

 

Отсроченная на m лет пожизненная рента представляет собой серию выплат единичной суммы, начиная с момента времени , до тех пор, пока человек жив. Тогда современная стоимость такой ренты равна

 

(9)

Так как

,

то

. (10)

 

Поэтому актуарная стоимость этой ренты будет равна

, (11)

или

. (12)

 

 

26. Актуарная современная стоимость и актуарная наращенная сумма.

 

некий пенсионный фонд, в который человек в момент времени вносят по единичной сумме. К моменту времени эта сумма возрастет до . Однако, если в момент времени все человек имеют возраст x лет, то к моменту времени в живых останется в среднем человек. Поэтому на каждого оставшегося в живых участника фонда будет приходиться сумма

 

. (13)

Величину называют актуарным наращением или актуарным накоплением. Она больше обычного множителя наращения , так как происходит уменьшение числа живых участников фонда, претендующих на соответствующую им долю средств данного фонда.

Следовательно, для получения единичной суммы в момент времени , каждый из застрахованных должен внести в момент времени сумму

. (14)

Величина называется актуарным коэффициентом дисконтирования для человека в возрасте х на отрезке . Этот коэффициент, при равной величине выплат, всегда меньше современной стоимости обычной финансовой ренты, так как взносы по страховой ренте собираются со всех, а выплаты производятся только дожившим до сроков ее выплаты.

Коэффициенты и можно выразить и через упрощающую функцию :

,

и

.

Тогда и введенные выше актуарные стоимости рент можно записать как

 

,

 

,

 

.

 

Здесь можно отметить, например, что представляет собой среднюю сумму, которую надо внести, чтобы получить единичную сумму в каждый из моментов .

 

27. Пожизненные постоянные p - срочные ренты.

 

Ежегодные ренты,встречаются значительно реже, чем ренты, выплачиваемые несколько раз в год (полугодовые, ежеквартальные, ежемесячные).

 

Полная пожизненная рента

 

Полная пожизненная р – срочная рента пренумерандо описывается следующим образом: начиная с момента времени человек в возрасте лет будет получать раз в год по у.е. в начале каждой из х долей года, то есть в моменты времени

 

.

 

Здесь - целое число из промежутка такое, что

 

.

 

Тогда приведенная стоимость такой ренты в момент времени будет вычисляться как

 

, (15)

а актуарная стоимость будет равна

 

. (16)

 

Временная пожизненная рента

 

В этом случае период выплат будет ограничен некоторым сроком в n лет. То есть, если человек проживет еще n лет , то будет произведено выплат; а если же человек умрет до достижения возраста n лет , то будет произведено выплат величиной у.е. каждая.

В предположении о равномерном распределении времени жизни для дробных возрастов можем получить следующую формулу для вычисления актуарной стоимости такой ренты

 

. (17)

 

Здесь - номинальная ставка дисконтирования, обращаемая с частотой , - номинальная процентная ставка.

 

 

Если в равенстве (17) перейти к пределу при , получим аналогичную формулу и для полной пожизненной ренты:

 

. (18)

 

х - целое число лет.

 

 

28. Непрерывные пожизненные ренты.

 

Пусть в полной пожизненной ренте, выплачиваемой с частотой , . За малый промежуток времени поступит сумма . Тогда приведенную стоимость полной непрерывной пожизненной ренты в момент времени можем вычислить как

.

 

С учетом того, что , можем написать:

.

 

Тогда актуарная приведенная стоимость такой ренты будет равна

 

. (19)

Можем выразить и через упрощающие функции

. (20)

 

В случае временной непрерывной пожизненной ренты платежи производятся не более, чем лет, то есть период платежей равен . Тогда приведенная стоимость такой ренты будет равна

 

, (21)

 

а актуарная стоимость:

 

. (22)

 

29. Схема расчета периодических нетто-премий. Периодические нетто-премии при

полном дискретном страховании жизни.

СХЕМА РАСЧЕТА НЕТТО-ПРЕМИЙ

 

 

Предположим, что страховая премия выплачивается в виде серии платежей в течение некоторого срока с момента заключения договора страхования. При такой периодической уплате взносов застрахованный выполняет свои обязательства в рассрочку. Однако стоимость обязательств компании не зависит от способа уплаты страховых премий.

При расчете величины периодически уплачиваемых премий необходимо учитывать как процентный доход от инвестиций, так и демографические факторы (смертность). Последний фактор оказывает существенное влияние на величину взносов, так как не все застрахованные успевают уплатить все предусмотренные контрактом взносы.

В общем виде, схема расчета нетто-премий может быть представлена следующим образом. Пусть - искомая нетто-премия. Тогда современная актуарная стоимость обязательств застрахованного будет функцией , то есть . Актуарная современная стоимость финансовых обязательств компании также является функцией : . И для вычисления необходимо применить принцип финансовой эквивалентности обязательств страховой компании и застрахованного, а это означает, что необходимо решить уравнение:

 

, (1)

 

которое представляет собой условие равенства обязательств застрахованного и страховой компании на момент заключения договора страхования.

Отметим, что, как и ранее, полная периодическая премия состоит из нескольких частей: периодическая нетто-премия , защитная (страховая) надбавка и расходы, возмещающие организационные затраты.

Применим теперь общую схему (1) к различным вариантам страхования.

 

Таким образом, плотность распределения вероятностей

(4)

она приближенно описывает долю умерших в возрасте от x до x +1 лет от исходной группы в новорожденных.

График функции (или ) называют кривой смертей.

свойства функции f (x):

 

1. .

2. ,

3. .

Таким образом, кроме и плотность распределения вероятностей может быть использована в качестве первичной характеристики продолжительности жизни, так как с помощью можно вычислить функцию выживания .

 

2.Интенсивность смерти.Макрохарактеристики продолжительности жизни.

интенсивность смертности- э то величина, которая характеризует вероятность смерти в интервале человека, дожившего до x лет:

 

. (5)

 

Статистическим аналогом интенсивности смертности , является величина

,

 

характеризующая долю тех представителей исходной группы, доживших до возраста x лет, которые умрут в течение ближайшего года.

Для случайной величины определяют и такие числовые характеристики как математическое ожидание и дисперсия , которые можно вычислить по формулам:

,

.

Для работы со случайной величиной страховщики должны располагать показателями, которые позволяют им оценить риск смерти или дожития до определенного срока для лиц различного пола и возраста. Основной источник - таблицы смертности, которые составляются в каждой стране с определенной периодичностью на основе информации, собираемой в результате переписи населения.

В Приложении приведена общая или упрощенная таблица продолжительности жизни (aggregate tables), которая содержит информацию о статистических свойствах времени жизни случайно выбранного человека, относительно которого известен только его возраст.

В таблицу включены следующие характеристики:

а) - среднее число живых представителей некоторой группы из новорожденных к возрасту x лет;

б) - число представителей группы, умерших в возрасте от x до лет;

в) - доля тех представителей группы, доживших до возраста x лет, которые умрут в течение ближайшего года;

г) - среднее суммарное число лет, прожитых представителями группы в возрасте от x до лет;

д) - среднее суммарное число лет, прожитых представителями группы в возрасте от x лет и более;

е) - среднее остаточное время жизни.

В качестве шага таблицы рассматривается 1 год

 

 

Аналитический закон распределения- Де Муавр (1724 г.) постулировал существование максимального возраста для людей и предположил, что X подчиняется равномерному закону распределения вероятностей в интервале :

,

тогда

. (6)

 

3.. Распределение остаточного времени жизни. Основные величины, связанные с оста-

точным временем жизни

При страховании жизни страхователь имеет дело с конкретными людьми, дожившими до определенного возраста x. Поэтому необходимо рассмотрение случайной величины

 

, (7)

 

определяющей остаточное время жизни человека, дожившего до х лет.

Закон распределения вероятностей этой случайной - . В страховой математике обозначают как :

- (8)

вероятность смерти человека, достигшего возраста x лет, в течение ближайших t лет.

Дополнительная вероятность обозначается как :

-

это вероятность того, что человек в возрасте x лет проживет еще не менее лет.

В частном случае, при индекс опускают:

 

 

вероятность того, что человек в возрасте х лет умрет в течение ближайшего года, и

 

вероятность того, что человек в возрасте х лет проживет, по крайней м