Однако в любом случае для расчета страховых премий необходимо уметь вычислять современную стоимость страховых выплат, их математические ожидания и дисперсии.

Дисперсии, в некоторых случаях, вычисляются достаточно просто. Предположим, что функция принимает только два значения 0 и 1. Тогда

 

,

 

другими словами, дисперсия при силе роста равна разности между современной стоимостью при силе роста и квадратом при исходной силе роста .

 

 

23. Полная пожизненная рента.

Во многих случаях более предпочтительным для застрахованного является не получение единовременной выплаты, а регулярный доход в течение определенного периода или пожизненно. Такие регулярные выплаты через равные промежутки называют страховой рентой или аннуитетом.

 

Полная пожизненная рента

 

Простейшая пожизненная рента пренумерандо описывается следующим образом: начиная с момента времени , человек один раз в начале каждого года начинает получать определенную постоянную сумму, которую примем в качестве единицы измерения денежных сумм. Выплаты этой суммы производятся только во время жизни человека.

Обозначим через х возраст человека в момент времени начала платежей. Тогда выплаты будут производиться в моменты времени , где - остаточная продолжительность жизни. То есть имеем дело с годовой рентой пренумерандо со случайным числом выплат . Найдем современную стоимость такой ренты

 

, (1)

 

которая является случайной величиной. Здесь - годовая ставка дисконтирования.

Так как - современная стоимость полного дискретного страхования жизни, то

, (2)

 

поэтому расчет характеристик пожизненной ренты можно свести к расчету характеристик соответствующего дискретного страхования жизни.

Найдем актуарную современную стоимость пожизненной ренты (нетто-премию):

 

, (3)

или

. (4)

 

Для расчета защитной надбавки и оценки вероятности разорения компании необходимо уметь вычислять и дисперсию , а именно

 

, (5)

 

где вычисляется так же, как и в предыдущей главе.

Формула (4) получен методом суммарной выплаты, когда пожизненная рента рассматривается как сумма случайного числа детерминированных слагаемых. Можно применить и другой метод – метод текущего платежа, который рассматривает эту ренту как сумму детерминированного числа случайных слагаемых.

если при страховании рент речь пойдет о ренте постнумерандо, когда страховые выплаты будут производиться в конце соответствующего периода, то вычисление современной стоимости будет производиться по формуле:

 

.

 

24. Временная пожизненная рента.

Временная п - летняя пожизненная рента выплачивается начиная с момента времени пожизненно, но не более, чем п лет, поэтому современная стоимость такой ренты будет равна

 

(6)

 

Учитывая, что современная стоимость п – летнего дискретного смешанного страхования жизни определяется как:

получаем:

.

Поэтому современная актуарная стоимость такой ренты будет вычисляться как

(7)

где - нетто-премия при дискретном смешанном страховании жизни.

Для расчета защитной надбавки и оценки вероятности разорения компании необходимо уметь вычислять и дисперсию , а именно

.

Можем выразить и через характеристики жизни, рассмотренные ранее:

 

, (8)

 

 

25. Отсроченная пожизненная рента.

 

Отсроченная на m лет пожизненная рента представляет собой серию выплат единичной суммы, начиная с момента времени , до тех пор, пока человек жив. Тогда современная стоимость такой ренты равна

 

(9)

Так как

,

то

. (10)

 

Поэтому актуарная стоимость этой ренты будет равна

, (11)

или

. (12)

 

 

26. Актуарная современная стоимость и актуарная наращенная сумма.

 

некий пенсионный фонд, в который человек в момент времени вносят по единичной сумме. К моменту времени эта сумма возрастет до . Однако, если в момент времени все человек имеют возраст x лет, то к моменту времени в живых останется в среднем человек. Поэтому на каждого оставшегося в живых участника фонда будет приходиться сумма

 

. (13)

Величину называют актуарным наращением или актуарным накоплением. Она больше обычного множителя наращения , так как происходит уменьшение числа живых участников фонда, претендующих на соответствующую им долю средств данного фонда.

Следовательно, для получения единичной суммы в момент времени , каждый из застрахованных должен внести в момент времени сумму

. (14)

Величина называется актуарным коэффициентом дисконтирования для человека в возрасте х на отрезке . Этот коэффициент, при равной величине выплат, всегда меньше современной стоимости обычной финансовой ренты, так как взносы по страховой ренте собираются со всех, а выплаты производятся только дожившим до сроков ее выплаты.

Коэффициенты и можно выразить и через упрощающую функцию :

,

и

.

Тогда и введенные выше актуарные стоимости рент можно записать как

 

,

 

,

 

.

 

Здесь можно отметить, например, что представляет собой среднюю сумму, которую надо внести, чтобы получить единичную сумму в каждый из моментов .

 

27. Пожизненные постоянные p - срочные ренты.

 

Ежегодные ренты,встречаются значительно реже, чем ренты, выплачиваемые несколько раз в год (полугодовые, ежеквартальные, ежемесячные).

 

Полная пожизненная рента

 

Полная пожизненная р – срочная рента пренумерандо описывается следующим образом: начиная с момента времени человек в возрасте лет будет получать раз в год по у.е. в начале каждой из х долей года, то есть в моменты времени

 

.

 

Здесь - целое число из промежутка такое, что

 

.

 

Тогда приведенная стоимость такой ренты в момент времени будет вычисляться как

 

, (15)

а актуарная стоимость будет равна

 

. (16)

 

Временная пожизненная рента

 

В этом случае период выплат будет ограничен некоторым сроком в n лет. То есть, если человек проживет еще n лет , то будет произведено выплат; а если же человек умрет до достижения возраста n лет , то будет произведено выплат величиной у.е. каждая.

В предположении о равномерном распределении времени жизни для дробных возрастов можем получить следующую формулу для вычисления актуарной стоимости такой ренты

 

. (17)

 

Здесь - номинальная ставка дисконтирования, обращаемая с частотой , - номинальная процентная ставка.

 

 

Если в равенстве (17) перейти к пределу при , получим аналогичную формулу и для полной пожизненной ренты:

 

. (18)

 

х - целое число лет.

 

 

28. Непрерывные пожизненные ренты.

 

Пусть в полной пожизненной ренте, выплачиваемой с частотой , . За малый промежуток времени поступит сумма . Тогда приведенную стоимость полной непрерывной пожизненной ренты в момент времени можем вычислить как

.

 

С учетом того, что , можем написать:

.

 

Тогда актуарная приведенная стоимость такой ренты будет равна

 

. (19)

Можем выразить и через упрощающие функции

. (20)

 

В случае временной непрерывной пожизненной ренты платежи производятся не более, чем лет, то есть период платежей равен . Тогда приведенная стоимость такой ренты будет равна

 

, (21)

 

а актуарная стоимость:

 

. (22)

 

29. Схема расчета периодических нетто-премий. Периодические нетто-премии при

полном дискретном страховании жизни.

СХЕМА РАСЧЕТА НЕТТО-ПРЕМИЙ

 

 

Предположим, что страховая премия выплачивается в виде серии платежей в течение некоторого срока с момента заключения договора страхования. При такой периодической уплате взносов застрахованный выполняет свои обязательства в рассрочку. Однако стоимость обязательств компании не зависит от способа уплаты страховых премий.

При расчете величины периодически уплачиваемых премий необходимо учитывать как процентный доход от инвестиций, так и демографические факторы (смертность). Последний фактор оказывает существенное влияние на величину взносов, так как не все застрахованные успевают уплатить все предусмотренные контрактом взносы.

В общем виде, схема расчета нетто-премий может быть представлена следующим образом. Пусть - искомая нетто-премия. Тогда современная актуарная стоимость обязательств застрахованного будет функцией , то есть . Актуарная современная стоимость финансовых обязательств компании также является функцией : . И для вычисления необходимо применить принцип финансовой эквивалентности обязательств страховой компании и застрахованного, а это означает, что необходимо решить уравнение:

 

, (1)

 

которое представляет собой условие равенства обязательств застрахованного и страховой компании на момент заключения договора страхования.

Отметим, что, как и ранее, полная периодическая премия состоит из нескольких частей: периодическая нетто-премия , защитная (страховая) надбавка и расходы, возмещающие организационные затраты.

Применим теперь общую схему (1) к различным вариантам страхования.