Непрерывное страхование жизни

1. Полное страхование жизни

фиксированное страховое пособие у.е. выплачивается в момент смерти, поэтому

, . (1)

 

Этот вид страхования называют еще пожизненным страхованием на случай смерти.

 

2. п-летнее чисто накопительное страхование жизни

 

выплата страхового пособия производится в момент времени n, если застрахованный дожил до этого момента, и , если застрахованный умер до момента n, то есть:

 

, (2)

Этот вид страхования называют еще страхованием на чистое дожитие.

 

3. п - летнее временное страхование жизни

 

страхования сумма выплачивается, если застрахованный умер в течение срока действия договора, а если он прожил эти n лет, то страховая компания не платит ничего, то есть

 

, (3)

 

4. п - летнее смешанное страхование жизни

страховая сумма выплачивается или в момент смерти застрахованного, если это произошло до истечения срока действия договора, или выплачивается в момент окончания срока действия договора, то есть

 

, . (4)

 

этот вид страхования выполняет функции как собственно страхования, так и накопления средств.

Этот вид страхование называют еще страхованием на дожитие.

 

5. Полное страхование жизни, отсроченное на т лет

 

выплата страховой суммы производится в момент смерти застрахованного, но только в том случае, если смерть произошла по истечении -летнего срока, то есть

 

, (5)

можно вывести и другие виды отсроченного страхования, например, n - летнее временное страхование, отсроченное на m лет, то есть

 

, (6)

 

6. Страхование с переменной страховой выплатой

Существуют многочисленные виды страхования, в которых величина страхового пособия зависит от момента наступления страхового события, то есть меняется с течением времени. В простейшем варианте полного страхования жизни это будет выглядеть как стандартное возрастающее пожизненное страхование:

 

, . (7)

 

Страхование с выплатой страхового пособия в конце года смерти

 

Здесь речь идет о дискретных аналогах,когда выплата пособия производится в конце года смерти застрахованного, то есть в момент времени . Тогда, для:

а) дискретного полного страхования жизни:

 

, ; (1´)

 

б) - летнего дискретного временного страхования жизни:

 

, (3´)

 

в) - летнего дискретного смешанного страхования жизни:

 

, ; (4´)

 

г) полного дискретного страхования жизни, отсроченного на лет:

 

, (5´)

 

д) полного страхования жизни с переменной страховой выплатой, например, с ежегодно возрастающим пособием

 

, . (7´)

17. Принципы назначения нетто-премий. Полное страхование жизни.

 

Актуарная стоимость страховой выплаты

 

Современная стоимость (на момент заключения договора страхования) страховой выплаты будет определяться как

 

,

 

где - сложная процентная ставка, - сила роста (непрерывная процентная ставка), - момент выплаты страховой суммы.

Так как является случайной величиной, то разовая нетто-премия равна ее актуарной стоимости, а именно

 

, (8)

 

где

. (9)

 

Для конкретных видов страхования общая формула (9) может быть упрощена и конкретизирована, и современная стоимость может быть выражена через характеристики продолжительности жизни

Для того, чтобы подчеркнуть, что речь идет о конкретных страховых договорах, переменные и снабжаются различными индексами, согласно следующим правилам:

 

1. Справа внизу ставится возраст х застрахованного на момент заключения договора: .

2. Если договор страхования непрерывный, то есть, страховое пособие выплачивается в момент смерти, то сверху ставится черта: .

3. Если договор действует ограниченный период времени n, то после возраста x через двоеточие ставится дополнительный индекс , обрамленный уголком: .

4. Если договор отсрочен на m лет, то внизу слева ставится индекс : .

5. Если величина страхового пособия регулярно возрастает, то добавляется буква : .

6. Используется также индекс 1 справа сверху. Например, означает, что первым наступил страховой случай – смерть застрахованного в момент времени ; а означает, что застрахованный умер не ранее, чем через n лет с момента заключения договора страхования, и страховой случай наступил в момент времени

 

 

Полное страхование жизни

 

Согласно формулам (1) и (9) получаем :

 

, (10)

 

и нетто-премия будет равна математическому ожиданию

 

.

Обозначив , можем получить:

.

А если ввести обозначение:

(11)

то

.

 

Функцию называют замещающей или упрощающей, используется также и термин – коммутационная функция.

Для упрощения записи вводят и выражения:

 

, (12)

, (13)

тогда

. (14)

Величины и также называются замещающими или упрощающими функциями. Они протабулированы в некоторых таблицах продолжительности жизни.

 

 

18. Расчет нетто-премий при п-летнем чисто накопительном, временном и, смешанном

непрерывном страховании жизни.

п -летнее чисто накопительное страхование жизни

 

Нетто-премия будет вычисляться как:

 

. (15)

 

 

Если же в № 8 воспользоваться упрощающими функциями, то:

 

(57,51%).

 

Видно, что аппроксимация законов продолжительности жизни моделью де Муавра несколько искажает результаты вычисления нетто-премий.

п -летнее временное страхование жизни