Учет эффекта вытеснения тока.

Известно, что с увеличением частоты тока в стержнях обмотки короткозамкнутого ротора возникает эффект вытеснения тока, в результате которого плотность тока в верхней части стержней возрастает, а в нижней уменьшается. При этом активное сопротивление ротора увеличивается, а индуктивное — уменьшается. Изменение сопротивлений ротора влияет на пусковые характеристики машины.

Эффект вытеснения тока в обмотках короткозамкнутых роторов увеличивет начальные моменты двигателей. Относительные изменения сопротивлений оцениваются коэффициентами k_r и k_д. Коэффициент k_r показывает, во сколько раз увеличилось активное сопротивление r_cx пазовой части стержня при неравномерном распределении плотности тока в нем по сравнению с его сопротивлением при одинаковом плотности по всему сечению стержня r_с:

k_r = r_cx / r_c. (1.228)

Коэффициент демпфирования k_д показывает, как уменьшилась магнитная проводимость участка паза, занятого проводником с током, при действии эффекта вытеснения тока по сравнению с проводимостью того же участка, но при равномерной плотности тока в стержне :

. (1.229)

Аналитическими выражениями, определяющими k_r и k_д, полученными для прямоугольных стержней являются:

(1.230)

В этих выражениях x - так называемая приведенная высота стержня

(1.231)

где h_с — высота стержня в пазу, м;

b_c и b_п — ширина стержня и ширина паза, м. При расчете роторов со вставными стержнями принимают b_с =0,9 b_п; при роторах с литой обмоткой b_с = b_п;

f ₂ — частота тока в роторе в расчетном режиме, Гц;

r_cJ — удельное сопротивление материала стержня при расчетной температуре, Oм×м.

Для двигателей общего назначения с медными вставными стержнями короткозамкнутого ротора при расчетной температуре 75°С из (1.231) имеем:

(1.232)

При расчетной температуре 115°С

(1.233)

При литой алюминиевой обмотке ротора при расчетных температурах 75 и 115 соответственно имеем:

(1.234)

и

(1.235)

При x £1 эффект вытеснения тока практически не влияет на сопротивления стержней. Это является критерием необходимости его учета при проектировании.

В расчетах условно принимают, что при действии эффекта вытеснения ток ротора распределен равномерно, но не по всему сечению стержня, а лишь по его верхней части, ограниченной высотой h_r, имеющей сечение q_г и сопротивление r_cx = r_cq_c / q_r; h_r называют глубиной проникновения тока в стержень. Для прямоугольных стержней h_r = h_c / k_r.

При определении l_пx аналогично принимают, что ток равномерно распределен по верхней части сечения стержня высотой h_х.

В практических расчетах для определения k_r и k_д пользуются неаналитическими зависимостями (1.230), а построенными на их основе кривыми j (x) и j^’ (x) (рис. 1.46, 1.47). Принятые при выводе (1.230) допущения приводят к положению, что на глубину проникновения не влияют высота и конфигурация стержня. Это позволяет использовать (1.230) и кривые j (x) и j^’ (x) для определения k_r и k_д в стержнях различных конфигураций. Расчет проводят в следующей последовательности. По полной высоте стержня, частоте тока и удельному сопротивлению материала стержня по (1.231) определяют функцию x, в соответствии, с которой по кривым рис. 1.46 находят функцию j, а по кривым рис. 1.47 — функцию j^’.

 

 

Рис. 1.46 Кривые j и j_КР в функции приведенной высоты x (j»x-1 при x>4 и j»4x⁴/₄₅ при x<1).

 

Далее определяют глубину проникновения тока

(1.236)

и коэффициент k_д = j^’.

Коэффициент k_r находят по отношению площадей всего сечения стержня и сечения, ограниченного высотой h_r, т.е.

(1.237)

По значениям k_r и k_д можно найти сопротивление пазовой части стержня обмотки ротора и коэффициент магнитной проводимости участка паза ротора, занятого стержнем с током,

(1.238)

(1.239)

Для определения k_r в стержнях некоторых наиболее распространенных конфигураций используют заранее полученные расчетные формулы. Для прямоугольных стержней (рис. 1.48, а)

(1.240)

Для круглых стержней (рис. 1.48, б)

(1.241)

Функция j_кр для круглого стержня представлена на рис. 1.46.

Для грушевидных стержней (рис. 1.48, в)

(1.242)

 

 

Рис. 1.47 Зависимость коэффициента j^' от приведенной высоты x(j^'=3/2x при x>4).

 

Площадь сечения q_r при

(1.243)

где

При h_р £ b ₂/2 площадь

(1.244)

Для трапецеидальных стержней верхней частью (см. рис. 1.48, г)

k_r = q_c / q_r,

где q_c и q_r определяют соответственно по (1.242) и по (1.243) или по (1.244);

(1.245)

Для других конфигураций стержней k_r может быть определен из общего выражения k_r = q_c / q_r с учетом размерных соотношений стержня.

 

 

Рис. 1.48 Расчетная глубина проникновения тока в стержнях различной конфигурации.

 

Для расчета характеристик необходимо учитывать изменение сопротивления всей обмотки ротора r ₂, поэтому удобно ввести коэффициент общего увеличения сопротивления фазы ротора под влиянием эффекта вытеснения тока:

K_R = r _{2 x} / r ₂, (1.246)

где r _{2 x} — сопротивление фазы короткозамкнутого ротора с учетом влияния эффекта вытеснения тока.

Выражение (1.246) легко преобразовать в более удобный для расчета вид:

(1.247)

Для прямоугольных стержней это выражение приобретает вид:

(1.248)

Активное сопротивление фазы обмотки ротора с учетом вытеснения будет равно:

r _{2 x} = r ₂ K_R. (1.249)

Обозначив коэффициентом К_х изменение индуктивного сопротивления фазы обмотки ротора от действия эффекта вытеснения тока, имеем:

x _{2 x} = x ₂ K_x, (1.250)

тогда

(1.251)

где l_пx — коэффициент магнитной проводимости пазового рассеяния с учетом эффекта вытеснения тока, рассчитанный по формулам табл. 1.23 при k_д = j^’.