Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Закон Био - Савара - Лапласа

Поиск

Закон Био - Савара - Лапласа

Био, Савар и Лаплас установили закон, который позволяет вычислить магнитную ин дукцию поля, созданного элементом тока Id на расстоянии от него:


dB = , (5)

А
Рис. 3
α
I
т.е. индукция магнитного поля, создаваемого элементом тока Id точке А, (см. рис. 3), на расстоянии r от него, пропорциональна ве­личине элемента тока и синусу угла a, равного углу между направле­ниями элемента тока Id и , а также обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними; Гн / м - магнитная посто­янная.

Закон Био - Савара - Лапласа в векторной форме имеет вид: d = . (6)

Закон Био - Савара - Лапласа позволяет вычислить магнитную индукцию поля любых систем токов, используя принцип суперпозиции магнитных поля = . (7)

Применим закон Био - Савара - Лапласа и принцип суперпозиции (7) к расчету магнит ных полей следующих токов:

8.3.1. Поле поямого тока:

α1
a2
r0
da
 
.

α

rda α

I

Рис. 4

Из рис. 4 с учетом (6) находим, что d плоскости, в которой лежат d и ; далее можно найти ,откуда, принимая во внимание, что получаем . С учетом этого из (5) находим: интегрируя последнее равенство, получаем:

(8)

Для бесконечно длинного проводника , и из (8) следует, что

(9)

C учетом (4) и (9) cила взаимодействия двух бесконечно длинных тонких и параллельных проводников . (10)

Пусть I1 = I2 = I, r0 = 1м, l = 1м, F = Н, тогда I = 1 А. Это было строгое опреде­ление единицы силы тока - ампера.

 

8.3.2. Поле кругового тока

Можно показать, что магнитная индукция поля, создан­ного круговым током радиуса R, на расстоянии r0 вдоль перпендикуляра, восстановленного из центра контура, (см. рис.5), будет (11)

В частности, в центре кругового тока ,

Рис. 5
. (12)

Для плоской катушки, состоящей из N, витков магнитная индукция на оси катушки

. (13)

При больших расстояниях от контура, (рис. 5), т. е. при r0 >> R из (11) получим

 

(14)

Лекция 9. Магнитное поле в вакууме (продолжение)

Циркуляция вектора магнитной индукции. Поле соленоида и тороида

В третьей лекции было показано, что для электростатического поля

 
т. е. циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна нулю. Можно показать, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна алгебраи­ческой сумме токов, охватываемых контуром, умноженной на 0, т. е.


(1)

L
 
 
 
При этом токи будем считать положительными, если они совпадают с поступательным движением правого буравчика, рукоятка которого вращается по направлению обхода контура. Для нашего случая, (см. рис. 1). это будут токи, текущие от нас и обозначенные . Токи, те­кущие в обратном

направлении, будут считаться отрицательными. Для рис. 1, это будут токи, текущие на нас и обозначенные кружком с точкой в центре.

Поскольку , то магнитное поле не является потенциальным, оно называется

вихревым или соленоидальным.

Применим теорему о циркуляции (1)для вычисления индукции магнитного поля со­леноида и тороида.

 

 

Поле соленоида

l
Соленоидом, (см. рис. 2), называется цилиндрическая катушка, на которую вплотную намотано большое число витков провода. Пусть N - число витков вдоль длины соленоида l, тогда , где L – контур 12341

или .

Интегралы на участках 1-2, 3- 4 равны нулю, т.к. d и d =Bdlcosπ/2 =0;

интеграл на участ­ке 4-1 равен нулю, т.к. вне соленоида индукция равна нулю. Поэтому , отсюда B= , (2)

где n = N / l - число витков, приходящееся на единицу длины соленоида. Поле соленоида однородно.

Поле тороида

Тороид (см.рис.3), представляет тонкий провод, плотно навитый на каркас, имеющий форму тора. Для него

где R - радиус средней линии тора, отсюда B = (3)

Поле тороида неоднородно: оно уменьшается с увеличением r. Поле вне тороида рав­но нулю.

Лекция 10. Магнитное поле в веществе

В предыдущих лекциях по магнетизму предполагалось, что провода, по которым текут токи, создающие магнитное поле, находятся в вакууме. Если несущие ток провода находятся в какой - либо среде, то магнитное поле изменяется. Объясним это явление.

Магнитные моменты атомов

I e
Опыт показывает, что все вещества, помешенные в магнитное поле, намагничиваются. Классическая физика это объясняет сушествованием в веществе микротоков, обусловленных движением электронов в атомах и молекулах.

Действительно, электрон, движущийся по круговой орбите вокруг

Рис. 1
ядра своего атома эквивалентен круговому току,(см.рис.1), поэтому он обладает орбитальным магнитным моментом

, (1)

который по модулю равен , (2)

где T - период вращения, v = 1 / T - частота вращения электрона на орбите.

Кроме того, электрон обладает собственным или спиновым магнитным моментом

(spin - верчение; о нем подробнее будем говорить в следующем семестре).

Общий магнитный момент атома равен сумме орбитальных и спиновых магнитных мо­ментов, входящих в атом электронов: . (3)

Магнитные моменты ядер в тысячи раз меньше и ими обычно пренебрегают.

Виды магнетиков

В зависимости от знака и величины магнитной восприимчивости все магнетики под­разделяются на три группы:

1) диамагнетики, у которых c отрицательна и мала (10 10 ); для них несколько мень­ше единицы; диамагнетиками являются Zn, Au, Hg, Si, P, С (графит), Bi (висмут)...

2) парамагнетики, у которых c положительна и мала (10 10 ); и с ростом температуры уменьшается по закону Кюри: c~ 1/T, для них несколько больше единицы; диамагнстиками являются щелочные металлы, кислород....

3) ферромагнетики, у которых c положительна и очень велика: может достигать, например у супермалоя 800000; для Fe магнитная проницаемость = 5000.

 
 


m

 

 

Рис. 2 Н

Магнитная проницаемость для них зависит от H, (рис. 2) и для каж­дого ферромагнетика имеется определенная температура, называемая точкой Кюри, при которой он теряет магнитные свойства, т. к. области спонтанного намагничивания (домены) распадаются и ферромагнетик становится парамагнетиком - это фазовый переход II рода. Для железа или .

Явление самоиндукции

Явление электромагнитной индукции наблюдается во всех случаях, когда изменяется магнитный поток, пронизывающий контур. В частности, этот магнитный поток может создаваться током, текущим в самом рассматриваемом контуре. При изменениях тока I в этом контуре изменяется также и полный магнитный поток , вследствие чего в контуре индуктируется ЭДС самоиндукции . Такое явление называется самоиндукцией. Поскольку , а Ф ~ B, B ~ I то, следовательно, ~ I, т.е

(6)

здесь L - называется индуктивностьюконтура, L = .

За единицу индуктивности в СИ принимается 1 Гн - генри: это индуктивность такого кон­тура, у которого при силе тока в нем в 1А, возникает сцепленный с ним полный магнитный поток , равный 1 Вб;

Можно найти, что в общем случае . (7)

Если при изменении тока индуктивность L контура не изменяется, то

. (8)

Для соленоида , (9)

где V = IS - объем соленоида, n -число витков, приходящееся на единицу длины соленоида.

 

Токи при размыкании цепи

Поставим переключатель"П", рис. 3, в положение 1, разомкнув цепь,тогда

IR = .

Откуда (10)

I I0
Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .

Решением его будет I = I , (11)

Рис. 4 t
где . График изменения тока при размыкании цепи

представлен на рис. 4.

11.3.2. Токи при замыкании цепи

Замкнем цепь (см. рис. 3), поставив переключатель "П" в полжение 2. Для нового состояния цепи имеем в соответствии с законом Ома IR = . Или

(12)

I I0
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решением его будет (13)

где I = , - ЭДС источника, R - сопротивление нагрузки.

Рис. 5 t
График изменения тока при замыкании цепи, показан на рис. 5.

11.4. Энергия магнитного поля

При возрастании тока в контуре в нем возникает ЭДС самоиндукции и закон Ома за­пишется I = , где , отсюда .

Полная работа источника тока за время dt dA =

здесь I Rdt - это работа, затрачиваемая на нагревание; LI dI - это работа дополнительная к работе источника тока, обусловленная индукционными явлениями в цепи. Вся работа, совершаемая в цепи для увеличения тока от 0 до I

A = . (14)

Эта работа и будет равна энергии магнитного поля, т.е. . (15)

Для соленоида индуктивность L определяется по формуле (9), что позволяет найти

. (16)

т.к. В= . Объемная плотность энергии магнитного поля

, (17)

она измеряется в СИ в Дж /м3.

Волновые уравнения

Из уравнений Максвелла следует, что

(26) (27)

где

+ + . (28)

- оператор Лапласа, ,

здесь с= м/с - электродинамическая постоянная, значение которой совпадает с вели­чиной скорости света в вакууме.

Уравнения (26) и (27) представляют собой типичные волновые уравнения. Любая фун­кция, удовлетворяющая таким уравнениям, представляет собой электромагнитную волну, распространяющуюся с фазовой скоростью , (29)

где называют абсолютным показателем преломления вещества.

Закон Био - Савара - Лапласа

Био, Савар и Лаплас установили закон, который позволяет вычислить магнитную ин дукцию поля, созданного элементом тока Id на расстоянии от него:


dB = , (5)

А
Рис. 3
α
I
т.е. индукция магнитного поля, создаваемого элементом тока Id точке А, (см. рис. 3), на расстоянии r от него, пропорциональна ве­личине элемента тока и синусу угла a, равного углу между направле­ниями элемента тока Id и , а также обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними; Гн / м - магнитная посто­янная.

Закон Био - Савара - Лапласа в векторной форме имеет вид: d = . (6)

Закон Био - Савара - Лапласа позволяет вычислить магнитную индукцию поля любых систем токов, используя принцип суперпозиции магнитных поля = . (7)

Применим закон Био - Савара - Лапласа и принцип суперпозиции (7) к расчету магнит ных полей следующих токов:

8.3.1. Поле поямого тока:

α1
a2
r0
da
 
.

α

rda α

I

Рис. 4

Из рис. 4 с учетом (6) находим, что d плоскости, в которой лежат d и ; далее можно найти ,откуда, принимая во внимание, что получаем . С учетом этого из (5) находим: интегрируя последнее равенство, получаем:

(8)

Для бесконечно длинного проводника , и из (8) следует, что

(9)

C учетом (4) и (9) cила взаимодействия двух бесконечно длинных тонких и параллельных проводников . (10)

Пусть I1 = I2 = I, r0 = 1м, l = 1м, F = Н, тогда I = 1 А. Это было строгое опреде­ление единицы силы тока - ампера.

 

8.3.2. Поле кругового тока

Можно показать, что магнитная индукция поля, создан­ного круговым током радиуса R, на расстоянии r0 вдоль перпендикуляра, восстановленного из центра контура, (см. рис.5), будет (11)

В частности, в центре кругового тока ,

Рис. 5
. (12)

Для плоской катушки, состоящей из N, витков магнитная индукция на оси катушки

. (13)

При больших расстояниях от контура, (рис. 5), т. е. при r0 >> R из (11) получим

 

(14)

Лекция 9. Магнитное поле в вакууме (продолжение)



Поделиться:


Познавательные статьи:




Последнее изменение этой страницы: 2016-09-05; просмотров: 459; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.217.26.8 (0.01 с.)