В немагнитной среде с использованием законов Ампера

И Био-Савара-Лапласа

 

Известно, что между проводниками, по которым протекают электрические токи, возникают механические силы, зависящие от величины этих токов и взаимного расположения проводников. Согласно современным физическим представлениям, эти силы обусловлены наличием в пространстве, окружающем токи, специфического силового поля, которое существует независимо от того, проявляется ли оно при воздействии на какие-либо другие токи или же в отсутствии таковых не проявляется ни в чем. Это поле сил называется магнитным полем тока, поскольку постоянные магниты создают такие же поля, как и электрические токи.

Как показывают опыты, магнитное поле в любой точке пространства может быть охарактеризовано вектором индукции магнитного поля с размерностью В×с/м² (Т). В частном случае сила , действующая на элемент dl тонкого провода, по которому протекает ток I, определяется формулой

где вектор направлен вдоль тока I (т.е. вдоль тонкого провода), - вектор индукции внешнего поля, которое создается как частью провода, по которому протекает ток I, за исключением элемента , так и другими токами. Если провод образует замкнутый контур (виток), полная сила, действующая на него, определяется интегралом от обеих частей (7):

 

Многочисленные эксперименты по измерению сил, выраженных формулами (7) и (8) показали, что индукция , создаваемая элементом тонкого провода dl, по которому протекает постоянный ток I, должна определяться по формуле

 

 

где магнитная постоянная μ₀ =4∙10^-7Гн/м; – вектор, направленный из точки расположения элемента dl в точку, где определяется индукция ; R – расстояние между этими точками.

Формула (9) выражает закон Био-Савара-Лапласа. Если подставить в выражение (7) вместо индукции выражение (9) для , то можно получить одну из формулировок закона Ампера.

Индукция замкнутого витка с контуром l, по которому протекает ток I, определяется интегралом от выражения (9)

 

Если магнитное поле создается массивным проводником, по которому протекают постоянные токи с плотностью , меняющейся по объему проводника, то силу, действующую на элемент проводника dV, можно определить по формуле, аналогичной (8):

 

 

Полная сила, действующая на массивный проводник, определяется интегралом по объему от выражения (11)

 

 

Когда индукция внешнего поля создается массивным проводником кольцевой формы, то она определяется по формуле, обобщающей формулу (10):

 

Возможность такого обобщения обусловлена тем, что любой массивный проводник с током I можно разделить на совокупность отдельных тонких витков, сумма токов которых равна току I. При этом магнитное поле каждого составляющего тонкого витка может быть определено формулой (10), а сумма этих выражений при достаточно большем их количестве может быть преобразована к интегралу в формуле (13).

Пусть теперь на тонкий виток с контуром l₂ и током I₂ действует магнитное поле витка с контуром l₁ и током I₁. Тогда сила , действующая со стороны витка 1 на виток 2, будет выражаться формулой

 

 

Подставляя сюда выражение (10) для , получаем

 

 

где – вектор, направленный из произвольной точки на контуре l₁ в любую точку на контуре l₂; R₁₂= [(x₂−x₁) ²+ (y₂−y₁) ²+ (z₂−z₁) ² ] ^½ – расстояние между точками на контуре 1 с координатами х₁, у₁, z₁ и точками на контуре 2 с координатами х₂, у₂, z₂.

Аналогичным образом можно получить выражение для силы, действующей со стороны витка 2 с током I₂ на виток 1:

 

 

где R₂₁=R₁₂; вектор , т.е. направлен из точки на контуре l₂ в точку на контуре l₁.

Для упрощения формул (14) и (15) и выяснения их физического смысла воспользуемся известной формулой векторного анализа

 

где – произвольные векторы.

Применяя эту формулу к двойному векторному произведению в (14), получим

 

 

Подставляя это соотношение в (14), представим силу в виде

 

Внутренний интеграл во втором члене справа равен нулю, поскольку подынтегральное выражение является полным дифференциалом:

 

 

Поэтому выражение для силы приобретает вид

 

 

Тем же способом можно получить и выражение для силы

 

 

Поскольку , то . Это означает, что в системе двух контуров с постоянными токами соблюдается третий закон (принцип) Ньютона, т.е. действие равно противодействию. Этот же принцип будет соблюдаться и при взаимодействии двух массивных проводников, по которому протекают замкнутые токи, распределенные по объемам проводников V₁ и V₂ с плотностями . Формула (19) в этом случае принимает вид

 

 

Такую же форму примет и выражение для силы s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> с заменой на .

Важно отметить, что принцип действия и противодействия соблюдается только для постоянных токов, которые в силу условия их непрерывности всегда являются замкнутыми. Чтобы это показать, рассмотрим взаимодействие замкнутого витка с контуром l₁ и током I₁ и незамкнутого элемента с током I₂.

Силу , действующую на элемент dl₂ со стороны замкнутого витка, можно определить по формуле (17), убрав из нее интеграл по l₂:

 

 

Силу , действующую со стороны элемента на виток l₁, можно определить по формуле (20), также убрав из нее интеграл по контуру l₂:

 

 

Первый член справа в (21) равен выражению (22) с противоположным знаком, и поэтому из-за второго члена в (21), в общем случае не равного нулю, принцип действия и противодействия не соблюдается. Он не будет соблюдаться и для двух взаимодействующих незамкнутых элементов, что иллюстрирует рис. 3. Элемент на своей оси поля не создает, т.е. , и поэтому сила ; в то же время индукция от элемента не равна нулю, и поэтому элемент испытывает силу .

 

 

Рис. 3. Взаимодействие незамкнутых элементов

 

Простые расчетные формулы для сил можно получить из приведенных выше формул общего вида только для отдельных частных случаев. В качестве простейшего примера приведем расчет сил взаимодействия между прямолинейными параллельными проводами, по которым протекают токи I₁, I₂ (рис. 4).

 

x

z

y

 

Рис. 4. Взаимодействие двух прямолинейных параллельных проводов

 

 

Будем считать провода бесконечно длинными. В этом случае индукция магнитного поля не зависит от координаты z, отсчитываемой вдоль проводов.

Вектор индукции , создаваемой током I₁ первого провода на оси второго, будет направлен по оси у в положительную сторону (рис. 4). Сила , действующая на элемент второго провода, вычисляется по формуле (7):

 

.

 

Согласно рис. 4, , , – орты осей у, z. Тогда

 

 

где d – расстояние между осями проводов.

В результате

 

где – орт-вектор оси х.

Вектор индукции , создаваемой вторым током I₂ на оси первого, будет направлен по оси у в обратную сторону (рис. 4). С учетом этого выражение для силы , действующей со стороны второго провода на первый, примет вид

 

Таким образом, если I₁>0, I₂>0, силы, действующие на провода, притягивают их друг к другу.

Обычно для длинных проводов рассматриваются силы на единицу длины:

 

 

В двухпроводной линии электропередачи I₁=I, I₂=−I. Тогда

 

 

Из этих формул следует, что в двухпроводной линии электропередачи провода отталкиваются друг от друга.

В общем случае при произвольных формах проводников расчет сил можно проводить на ЭВМ. При этом каждый контур разбивается на ряд отдельных малых элементов, после чего интегралы по замкнутым контурам заменяются конечными суммами. Расчет сил производится отдельно для каждой проекции вектора силы на оси координат. Аналогичным образом производится расчет сил, действующих на объемные (массивные) проводники. В этом случае объем каждого провода разбивается на совокупность отдельных малых элементов простой формы, в пределах которых плотность тока можно считать постоянной. После этого интегралы по объемам также заменяются конечными суммами. При этом следует отметить, что в случае массивных проводников может возникнуть необходимость предварительного расчета распределения плотности тока по объему проводника. Эта задача может быть решена с использованием теории постоянного электрического поля в проводящей среде путем решения краевой задачи для уравнения Лапласа относительно потенциала плотности тока.