Закон Био-Савара-Лапласа в вакууме.

Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Ж. Био и Ф. Саваром (1820 г.). Совместно с Лапласом они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника.

Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции: Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности.

(1)

Индукцию проводника с током можно представить как векторную сумму элементарных индукций , создаваемых отдельными участками проводника длиной l.

(2)

Закон Био–Савара-Лапласа определяет индукцию магнитного поля, создаваемого малым участком проводника с током I:

, (3)

где – магнитная постоянная,

- радиус-вектор, проведенный от элемента проводника , имеющего направление тока в проводнике, к точке, в которой определяется индукция магнитного поля (рис.6).

Рис.6

 

Пример 1. Найти индукцию магнитного поля в точке, отстоящей на расстоянии 10 см от бесконечно длинного проводника, по которому течет ток силой 5 А.

Дано: ; .

Решение: Разобьем проводник на элементарные отрезки . Магнитная индукция поля , создаваемого этим элементом в точке А определяется по закону Био-Савара-Лапласа: ,

где – магнитная постоянная,

- радиус-вектор, проведенный от элемента проводника в точку А.

По правилу буравчика определим направление . В нашем случае вектор магнитной индукции направлен от нас (на рисунке показан ). По принципу суперпозиции магнитная индукция равна сумме магнитных индукций от всех элементарных отрезков проводника (интегрирование ведется по длине проводника l). Так как проводник прямолинейный, то имеют одинаковые направления, поэтому можно заметить векторное интегрирование скалярным: , где , где α – угол между элементом и радиус-вектором .

Из рисунка видно , где - угол, лежащий против элемента проводника с током , тогда , где . Тогда . С учетом этого получаем

,

где α₁, α₂ –углы между направлением тока в проводнике и радиусами – векторами, проведенными от концов проводника в точку А.

Если проводник бесконечно длинный, то α₁=0⁰, cosα₁=1, α₂=180⁰, cosα₂=-1. Тогда

Вычисления:

 

Выведенная в примере 1 формула:

(4)

позволяет определить магнитную индукцию поля прямого бесконечно длинного проводника с током.

 

Пример 2. По прямому проводнику длиной 4 м течет ток I=100 А. Определить индукцию В магнитного поля в точке, равноудаленной от концов проводника и находящейся на расстоянии 1 м от него.

Дано: ; ; .

Решение: Разобьем проводник на элементарные отрезки . Магнитная индукция поля , создаваемого этим элементом в точке А определяется по закону Био-Савара-Лапласа:

, где – магнитная постоянная,

- радиус-вектор, проведенный от элемента проводника в точку А.

По правилу буравчика определим направление . В нашем случае вектор магнитной индукции направлен от нас. По принципу суперпозиции магнитная индукция равна сумме магнитных индукций от всех элементарных отрезков проводника (интегрирование ведется по длине проводника l). Так как проводник прямолинейный, то имеют одинаковые направления, поэтому можно заметить векторное интегрирование скалярным: , где , где α – угол между элементом и радиус-вектором .

Из рисунка видно , где - угол, лежащий против элемента проводника с током , тогда , где . Тогда . С учетом этого получаем

,

где α₁, α₂ –углы между направлением тока в проводнике и радиусами – векторами, проведенными от концов проводника в точку А. Как видно из рисунка cos α ₁=-cos α ₂= ,

тогда .

Вычисления:

 

Выведенная в примере 2 формула:

(5)

позволяет определить магнитную индукцию поля прямого проводника с током конечной длины.

Пример 3. Из проводника длиной l=3,14 м сделано кольцо. Определить индукцию В магнитного поля в точке, лежащей в центре кольца, если сила тока в проводнике равна 5 А.

Дано: ; .

Решение: Разобьем проводник на элементарные отрезки . Магнитная индукция поля , создаваемого этим элементом в точке О определяется по закону Био-Савара-Лапласа:

, где – магнитная постоянная, - радиус-вектор, проведенный от элемента проводника в точку О.

По правилу буравчика определим направление . В нашем случае вектор магнитной индукции направлен вверх. По принципу суперпозиции магнитная индукция равна сумме магнитных индукций от всех элементарных отрезков проводника (интегрирование ведется по длине кругового проводника l). В нашем случае имеют одинаковые направления, поэтому можно заметить векторное интегрирование скалярным: , где , где α – угол между элементом и радиус-вектором , проведенным от элемента в точку О.

Из рисунка видно, что , так как , , где R – радиус кольца. С учетом этого получаем .

Радиус кольца , тогда

Производим расчет .

 

Выведенная в примере 3 формула:

(6)

позволяет определить магнитную индукцию поля в центре кругового проводника с током.

 

Пример 4. Индукция В магнитного поля в точке, лежащей на оси проводящего кольца на расстоянии b=0,6 м от плоскости кольца, равна 50 мкТл. Определить силу тока в кольце. Радиус кольца R=0,8 м.

Дано: ; ;

Решение: Разобьем проводящее кольцо на элементарные отрезки . Магнитная индукция поля , создаваемого этим элементом в точке А определяется по закону Био-Савара-Лапласа: , где – магнитная постоянная, - радиус-вектор, проведенный от элемента проводника в точку А.

По правилу буравчика определим направление . По принципу суперпозиции магнитная индукция равна сумме магнитных индукций от всех элементарных отрезков проводника (интегрирование ведется по длине проводящего кольца). Разложим вектор на две составляющие: - перпендикулярную плоскости кольца и - параллельную плоскости кольца, то есть .

Тогда . Заметим, что из соображений симметрии и что векторы от различных элементов сонаправлены, поэтому можно заметить векторное интегрирование скалярным: , где , где , где α – угол между элементом и радиус-вектором , проведенным от элемента в точку А.

Из рисунка видно, что , так как , , , где R – радиус кольца, b – расстояние от плоскости кольца до точки А.

С учетом этого получаем

.

Отсюда искомая сила тока в кольце.

Тогда .

 

Выведенная в примере 4 формула:

(7)

позволяет определить магнитную индукцию поля на оси проводящего кольца.

Пример 5. Два длинных прямых параллельных проводника с одинаково направленными токами I₁=2 A и I₂=4 A расположены на расстоянии r=10 см друг от друга. Определить индукцию магнитного поля в точке, лежащей в середине отрезка прямой, соединяющего проводники.

Дано: ; ; ;. .

Решение: Согласно принципу суперпозиции (формула 1) индукция магнитного поля в точке А равна , где - индукция магнитного поля, созданного в точке А проводником с током I₁, - индукция магнитного поля, созданного в точке А проводником с током I₂.

Определим направления векторов магнитной индукции в точке А по правилу буравчика. Как видно из рисунка , поэтому модульное значение индукции магнитного поля в точке А ,

где - индукция магнитного поля, созданного в точке А бесконечно длинным проводником с током I₁ (формула 4),

- индукция магнитного поля, созданного в точке А бесконечно длинным проводником с током I₂ (формула 4).

Получаем ,

где μ₀=1,26·10^-6 – магнитная постоянная.

Подставим числовые значения:

(Тл).

 

Пример 6. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника скрещены под прямым углом. По проводам текут токи силами 80 А и 60 А. Расстояние между проводниками 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А, одинаково удаленной от обоих проводников.

Дано: ; ; ;. .

Решение: Согласно принципу суперпозиции (формула 1) индукция магнитного поля в точке А равна , где - индукция магнитного поля, созданного в точке А проводником с током I₁, - индукция магнитного поля, созданного в точке А проводником с током I₂.

Определим направления векторов магнитной индукции в точке А по правилу буравчика. Как видно из рисунка , поэтому модульное значение индукции магнитного поля в точке А ,

где - индукция магнитного поля, созданного в точке А бесконечно длинным проводником с током I₁ (формула 4),

- индукция магнитного поля, созданного в точке А бесконечно длинным проводником с током I₂ (формула 4).

Получаем .

Вычисление: .