Какие множества называются эквивалентными. Каким условиям удовлетворяет отношение эквивалентности.

Если между элементами множеств А и В установлено взаимно однозначное соответствие, то такие множества называются эквивалентными, что обозначается как А ~ В. Отношение эквивалентности удовлетворяет следующим условиям:

рефлексивность: А ~ А; симметричность: если А ~ В, то В ~ А; транзитивность: если А ~ В и В ~ С, то А ~ С

Равные множества эквивалентны. Из эквивалентности множеств равенство в общем случае не следует.

4. Множества А и В – конечны, А ~ В. n_A – мощность множества А, n_В – мощность множества В. Какое из приведенных соотношений правильно: а) n_A > n_В; б) n_A < n_В; в) n_A = n_В + 1; г) n_A = n_В; д) n_В = n_A + 1?

5. Определите и проиллюстрируйте с помощью диаграмм Эйлера – Венна операции объединения и пересечения множеств. Являются ли эти операции коммутативными и ассоциативными? Запишите соответствующие соотношения.

Операции объединения и пересечения являются коммутативными А È В = В È А и А Ç В = В Ç А
и ассоциативными (А È В) È С = А È (В È С)
и А Ç (В Ç С) = (А Ç В)Ç С)

Продолжите равенство: А Ç (В È С) = (А Ç В)Ç С)

6. Изобразите на диаграмме Эйлера–Венна множество (А + С)(В + С) и убедитесь в том, что оно равно АВ + С.

7. В чем состоит операция декартового произведения множеств? Что называют степенью множества? Пусть R – множество вещественных чисел. Какие множества будут получены в результате операций R ´ R и R ´ R ´ R?

Декартовым произведением множеств А и В называется множество D, элементами которого называются всевозможные упорядоченные пары элементов множеств А и В, обозначаемые как < a, b >, т. е. D = A ´ B = { d; d = < a, b >, a Î A, B Î B }.

Степенью множества называют п-кратное декартово произведение множества на самого себя. R ´ R = R2 является множеством всех точек на плоскости, R ´ R ´ R – множество всех точек пространства, а степень порядка n множества R определяет множество п-мерных векторов Rn.

8. Что такое мощность конечных множеств? Для множеств A = {–2, 0, 1, 4, 9} и B = {–2, 4, 3, 1} найдите А È В, А Ç В, А \ В, В \ А и А D В. Определите мощность получаемых в результате данных операций множеств.

Число элементов эквивалентных между собой конечных множеств определяет мощность этих множеств.

АÈВ ={-2,0,1,3,4,9} М=6 АÇВ={-2,1,4} М=3 А \ В={0,9} М=2В \ А={3} М=1 А D В={0,3,9} М=3

 

9. Множества С и D имеют мощности, равные и соответственно. Известно, что С и D не являются эквивалентными. Также известно, что в множестве C есть подмножество C^*, эквивалентное множеству D. Какое из следующих нижеприведенных выражений правильно: а) > ; б) ≥ ; в) ≤ ; г) < ; д) = ?

10. Установите, какие из приведенных ниже выражений правильны: а) (А È В) \ С = А È (В \ С) - нет; б) АВС = АВ (С È В) - нет;

11. Установите, какие из приведенных ниже выражений правильны: а) А È В = (А \ АВ) È В - да; б) А È В = (А D В)D(А Ç В) - да;

в) (АВ È ВС È СА) Ì (А È В È С) - да.

12. Сформулируйте и проиллюстрируйте с помощью диаграмм Эйлера – Венна определения разности множеств А и В, симметрической разности множеств А и В.

Симметрическая разность множеств А и В - объединение двух разностей А \ В и В \ А. Симметрическая разность обозначается символом D: А D В = (А \ В) È (В \ А)

Продолжите равенство: А Ç (В \ С) = (А Ç В) \ С

Что называют единичным (нейтральным) элементом по отношению к бинарной операции? Что называют обратным элементом по отношению к бинарной операции? Что представляют собой нейтральный и обратный элементы по отношению к операциям сложения и умножения на множестве вещественных чисел?

Единичный (нейтральный) элемент по отношению к введенной бинарной операции - элемент е Î А, такой, что для любого элемента а, принадлежащего множеству А, выполняется условие е * а = а * е = а.

Обратный элемент по отношению к бинарной операции – элемент, который в сочетании с заданным элементом в рамках некоторой бинарной операции дает нейтральный элемент. а^-1 * а = е

На множестве вещественных чисел по отношению к операции сложения: 0 – нейтральный, -х – обратный; умножение: 1 – нейтральный, 1\х – обратный. х – элемент множества.

14. Дайте определения следующих алгебраических структур: полугруппа, моноид, группа, абелева группа. Какую алгебраическую структуру образует множество целых чисел Z по отношению к операции сложения? Ответ аргументируйте.

Полугруппа – если имеем дело с бинарной ассоциативной операцией – результат операции попадает в то же множество и (а х b) х с = а х (b x c), где х – операция.

Моноид – полугруппа + наличие нейтрального элемента

Группа – моноид + каждый элемент (кроме нейтрального и нулевого) обратим

Абелева группа – группа + операция коммутативна (а+б=б+а)

Множество целых чисел по операции сложение образует абелеву группу. Имеем дело с бинарной ассоциативной операцией; нейтральный элемент: 0; обратный элемент: -х; х+а=а+х. х и а – элементы.

15. Дайте определения следующих алгебраических структур: полугруппа, моноид, группа, абелева группа. Какую алгебраическую структуру образует множество вещественных чисел R по отношению к операции умножения? Ответ аргументируйте.

Полугруппа – если имеем дело с бинарной ассоциативной операцией – результат операции попадает в то же множество и (а х b) х с = а х (b x c), где х – операция.

Моноид – полугруппа + наличие нейтрального элемента

Группа – моноид + каждый элемент (кроме нейтрального и нулевого) обратим

Абелева группа – группа + операция коммутативна (а+б=б+а)

Множество вещественных чисел по операции умножение образует абелеву группу. Имеем дело с бинарной ассоциативной операцией; нейтральный элемент 1; обратный элемент 1\х; х+а=а+х. х и а – элементы

 

 

16. Дайте определения следующих алгебраических структур: полугруппа, моноид, группа, абелева группа. Какую алгебраическую структуру образует множество натуральных чисел N по отношению к операции сложения? Ответ аргументируйте.

Полугруппа – если имеем дело с бинарной ассоциативной операцией – результат операции попадает в то же множество и (а х b) х с = а х (b x c), где х – операция.

Моноид – полугруппа + наличие нейтрального элемента

Группа – моноид + каждый элемент (кроме нейтрального и нулевого) обратим

Абелева группа – группа + операция коммутативна (а+б=б+а)

Множество натуральных чисел по операции сложение образует полугруппу. Имеем дело с бинарной ассоциативной операцией, а нейтрального элемента уже нет.

17. Какая алгебраическая структура называется кольцом? Приведите пример кольца.

Если множество по сложению абелева группа, а по умножению – моноид, то это кольцо. (Целые числа)