Дайте определение линейного пространства. Перечислите аксиомы лп.

Непустое множество L элементов , , , … (L может быть конечным, счетным или несчетным, его элементы могут быть векторами, матрицами или функциями) называется линейным (векторным) пространством, если выполняются следующие условия, называемые аксиомами ЛП:

1. Для любых , Î L однозначно определен элемент Î L, называемый суммой элементов и , т. е. = + . При этом по отношению к введенной операции сложения векторов L образует абелеву группу. Напомним, что это означает выполнение следующих условий:

· + ( + ) = ( + ) + (ассоциативность);

· в L существует нулевой вектор такой, что для " Î L выполняется равенство + = ;

· для " Î L существует элемент – , называемый обратным для , такой, что +(– ) = ;

· " , Î L выполняется равенство + = + (коммутативность).

2. Для " a Î F и Î L определен элемент a Î L (произведение вектора на скаляр), причем:

· a(b ) = (ab) ;

· е = , где е – нейтральный элемент по отношению к операции умножения в поле F (е = 1 для поля комплексных и вещественных чисел);

· для " a, b Î F выполняется равенство (a + b) = a + b ;

· " , Î L и a Î F a( + ) = a + a .

26. Приведите примеры линейных пространств (не менее двух).

1. Совокупность действительных чисел с обычными арифметическими операциями сложения и умножения образует ЛП R ₁.

2. Совокупность векторов = (х ₁, х ₂, …, х_п), где х_i Î R или С, называют п- мерным линейным арифметическим пространством R_п или линейным комплексным пространством С_п соответственно, если выполняются следующие правила суммирования векторов и умножения на скаляр: + = (х ₁ + y ₁, х ₂ + y ₂, …, х_п + y_n) и a = (a х ₁, a х ₂, …, a х_п).

3. Непрерывные на отрезке [ a, b ] вещественные или комплексные функции с обычными правилами сложения функций и умножения на скаляр образуют ЛП С [ a, b ].

4. Аналогично определяется ЛП, элементами которого являются функции с интегрируемым квадратом L ₂[ a, b ] или L ₂.

Дайте определение линейной комбинации векторов из L.

Вектор называется линейной комбинацией векторов ₁, ₂, …, _n

Дайте определение линейной независимости системы векторов из L.

Бесконечная система векторов ₁, ₂, …, _n, … пространства L называется линейно независимой, если линейно независима ее любая конечная подсистема. Ненулевые векторы ₁, ₂, …, _n называются линейно независимыми, если не существует скаляров a₁, a₂, …, a _п не равных 0, таких, что .

 

 

Дайте определение базиса конечномерного ЛП. Какие важнейшие свойства базиса должны выполняться в ЛП?

Если в L существует п линейно независимых векторов ₁, ₂, …, _n,
а любые n + 1 вектор линейно зависимы, то число n называют размерностью пространства L, записывая это утверждение в форме dim L = n. Сами векторы ₁, ₂, …, _n образуют базис п -мерного ЛП L.

Свойства:

1. Любой вектор линейного пространства можно записать в виде линейной комбинации базисных векторов , где – совокупность базисных векторов, а скаляры x_i представляют собой координаты вектора относительно базиса .

2. Линейной оболочкой базисной системы векторов является само ЛП L

30. Приведите не менее трех примеров базисных систем для различных ЛП (с формулами или рисунками).

В R_n или С_n базисной системой является совокупность п векторов вида = (1, 0, 0, …, 0), = (0, 1, 0, …, 0), …, = (0, 0, …, 0, 1).

В C [ a, b ] (множество функций, непрерывных на промежутке) базисную систему образует совокупность степенных функций { tⁿ }, n = 0, 1, 2, … α_n tⁿ+ α_n-1 t^n-1+…+ α₂t²+ α_t+ α_o

В L2(множество функций с интегрируемым квадратом): {1+coskt,sinkt}

Дайте определение скалярного произведения для ЛП. Перечислите свойства скалярного произведения.

Скалярное произведение для ЛП, заданных над полями R или С, определяется аксиоматически как правило отображения любой упорядоченной пары < , > векторов и в множество скаляров из поля R или С, над которыми задано ЛП. Это правило должно удовлетворять следующим условиям: а) (, ) – неотриц. вещественное число, равное нулю, только если = . б) (, ) = (, )^*, где – знак комплексного сопряжения. Свойства: а) б) , .

Приведите и докажите неравенство Коши-Буняковского для произвольных линейных пространств.

Неравенство: . Док-во: Запишем очевидное неравенство, справедливое для любых векторов и и значений скаляра λ . Раскрывая его, получим . Поскольку это неравенство справедливо при любых λ, то полагая, что , после подстановки и преобразований на основе аксиомы , получаем , откуда следует, что .