Степенные средние величины в статистике: средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя гармоническая. Взвешенные и простые средние степенные величины.

Средние величины открыли ученые Петте и Кетле. Они определили, что постоянные величины действуют одинаково на каждое изучаемое явление. Эти величины похожи друг на друга и создают общие для всех закономерности.

Следствием их изучения явилось выделение средних величин в качестве основного приема статичтического анализа.

Математическая статистика выводит средние из формул степенной средней:

- среднее значение исследуемого явления.

x - значение признака (варианта).

n - число признаков.

m - показатель степени средней.

В зависимости от значения показателя степени m различают следуещие виды степенных средних:

При m = - 1 - среднее гармоническое (x_гар )

При m = 0 - среднее геометрическое (x_г )

При m = 1 - среднее арифметическое (x_ар )

При m = 2 - среднее квадратическое(x_кв )

При m = 3 - среднее кубическое (x_куб )

Виды средних величин

1.
средняя арифметическая простая применяется, когда перечислены все значения усредненного признака:

x - значение признака

n - кол-во единиц обладающих данным признаком.

2. среднее арифметическое взвешенное применяется, когда задан «вес признака»(кол-во единиц, обладающих одинаковым признаком)

x - значение признака, f - вес признака

3. средняя гармоническая простая.

4. средняя гармоническая взвешенная применяется, когда задан объем признака – это суммарное значение признака по всей совокупности или по группам.

x - значение признака.

w - объем признака.

5. средняя геометрическая простая.

x - значение признака.

k - кол-во осредняемых величин.

6. средняя геометрическая взвешенная.

7. среднее хронологическое применяется в рядах динамики

x₁ - начальный уровень ряда

x _n - конечный уровень ряда

n - число уровней в ряду

8. средняя квадратическая простая

9.
средняя квадратическая взвешенная

10. средняя кубическая простая

11. средняя кубическая взвешенная

Вариация признака. Абсолютные показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Относительные показатели вариации: коэффициенты осцилляции и вариации.

Показатели варьирования осредненных статичтических признаков: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее кватратическое отклонение (дисперсия), коэффициент вариации. Расчетные формулы и порядок расчета показателей вариации.

Применение показателей вариации при анализе статистических данных в деятельности предприятий и организаций, учреждений БР, макроэкономических показателей.

Средний показатель дает обобщающий, типичный уровень признака, но не показывает степень его колеблемости, вариации.

Поэтому средние показатели необходимо дополнять показателями вариации. От размера и распределения от клонений зависит надежность средних показателей.

Важно знать основные показатели вариации, уметь правильно их рассчитывать и использовать.

Основными показателями вариации являются: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Формулы показателей вариации:

1. размах вариации.

 

X_μαχ - максимальное значение признака

X_min - минимальное значение признака.

Размах вариации может служить лишь приближенной мерой вариации признака, т.к. он исчисляется на основе двух крайних ее значений, а остальные во внимание не принимаются; при этом крайние значения признака для данной совокупности могут быть чисто случайными.

2. среднее линейное отклонение.

 

[X-X] - означает, что отклонения берутся без учета их знака.

Среднее линейное отклонение довольно редко используется в экономическом статистическом анализе.

3. Дисперсия.

4. Среднее квадратическое отклонение.

Относительные показатели вариации: коэффициенты осцилляции, вариации.

Коэффициент вариации.

Коэффициент вариации дает относительную оценку вариации и позволяет сравнить степень вариации признаков в рядах с разным уровнем средних.

Если коэффициент вариации V>33%, то она не надежна, ей доверять нельзя, совокупность неоднородна.

Если V<33%, то средняя надежна.

Коэффициент осциляции.