Априорное ранжирование факторов

 

Метод экспертных оценок применяют и для выделения наиболее существенных, статистически значимых факторов с целью сокращения числа проводимых опытов. Иногда этот метод называют - метод ранговой корреляции, формализация априорной информации и т.д.

Факторы ранжируют по литературным источникам и опрашиваемым экспертам. Наиболее важному фактору присваивается наивысший ранг - "к", следующему по важности - ранг "к-1" и далее до "1", соответствующего наименее значимому фактору. Если эксперт не может предпочесть один фактор другому, то каждому из них приписывается один и тот же " связанный " ранг, равный среднему арифметическому этих рангов. Число существенных факторов и сумма рангов у одного эксперта могут отличаться от подобных показателей другого эксперта, поэтому результаты корректируют, а затем сводят в таблицу, по результатам которой строят диаграмму рангов факторов.

Степень согласованности мнений экспертов относительно рангов факторов оценивается коэффициентом конкордации (согласованности, согласия) - W.

 

 

где: - сумма квадратов отклонений рангов факторов от их среднего арифметического;

m - количество опрашиваемых специалистов (экспертов);

k - количество факторов;

- учет "связанных" рангов;

t_j - число факторов, имеющих одинаковый ранг в группе ранжирования конкретного эксперта.

Коэффициент конкордации может изменяться от 0 до 1. При полной согласованности мнений специалистов W = 1.

Значимость коэффициентов конкордации оценивают с помощью статистических критериев, например, с использованием критерия Пирсона - c² (ХИ-квадрат) - при числе степеней свободы f = k - 1. Критерий Пирсона можно применять для проверки согласия с любым законом распределения.

 

 

Если расчетное значение критерия больше табличного, то коэффициент конкордации статистически значим. В этом случае по построенной диаграмме рангов можно выделить группу факторов, наиболее влияющих на исследуемый процесс. Если суммы рангов факторов убывают равномерно, без резкого перепада, то выделить наиболее важную группу факторов сложно.

Рассмотрим условный пример. Семь экспертов оценивают влияние десяти факторов на исследуемый процесс.

2.2. Порядок выполнения работы:

1. Заполняем таблицу исходными данными по варианту задания. В первом столбце номера факторов: Х_1, Х₂ и т.д. до Х_{10 .} В следующих семи столбцах записываем ранги факторов каждого эксперта.

2. Проверяем правильность заполнения таблицы по вертикали. Сумма рангов в каждом столбце должна быть одинаковой.

Для получения суммы последовательного ряда чисел от 1 до 10: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 применим прием быстрого счета: суммы двух противоположно расположенных чисел выборки дают одинаковый результат.

Например, 1+9= 10; 2+8= 10: 3+7= 10; 4+6= 10. Итого: 4х10+10+5 = 55.

При необходимости результаты корректируют, так чтобы в каждом столбце получить требуемый результат 55. Определяем общую сумму баллов: 55х7= 385 (см. предпоследний ряд 9-го столбца).

3. Вычисляем по горизонталям сумму баллов по каждому фактору.

Например, åа₁ = 4+6+5+5+8+8+5= 41; åа₂ = 6+5+6+7+6,5+6+6= 42,5 и т.д.

Определяем общую сумму баллов по вертикали 9-го столбца:

41,0+42,5+67,0+55,5+54,0+53,0+10,5+27,5+22,5+11,5 = 385.

Результаты расчетов по горизонтали и вертикали должны совпадать.

4. Определяем среднее арифметическое фактора выборки: = 385/10 = 38,5.

5. Предпоследний и последний столбцы заполнены результатами вычислений абсолютных отклонений сумм рангов факторов от их среднего арифметического = 38,5, а также квадратами этих отклонений.

Например, для первого фактора абсолютное отклонение åа₁- = 41,0 - 38,5 = = 2,5; а квадрат отклонения равен 6,25. Для 10-го фактора åа₁₀- = 11,5 - 38,5= -27, 0; а квадрат отклонения равен 729,0.

Сумма квадратов отклонений по всем десяти факторам составила А = 3464,0.

6. Оцениваем «связанные» ранги. Первый эксперт связал два фактора (t_j =2): седьмой и десятый имеют "связанный" ранг (2 + 1)/2 = 1,5. Учет «связанных» рангов åT_j= 2³ - 2 = 6.

Результаты расчета приведены в последней строчке таблицы.

Второй и шестой эксперты выполнили ранжирование без "связанных" рангов.

Третий эксперт "связал" ранги дважды по два: четвертый и пятый факторы (8+7)/2 = 7,5; а также восьмой и девятый факторы (4+3)/2= 3,5. t_j =2+2;

åT_j= (2³ -2)+(2³ -2) = 12.

Четвертый и седьмой эксперты "связали" по три фактора: (8+7+6)/3 = 7,0 и (4+3+2)/3 = 3,0. t_j = 3; åT_j= 3³ -3 = 24.

Пятый эксперт "связал" ранги дважды (два и три): второй и пятый факторы (7+6)/2= 6,5; а также шестой, восьмой и девятый факторы (5+4+3)/3 = 3,0. t_j = 2+3;

åT_j = (2³ - 2) + (3³ - 3) = 30.

Результаты учета "связанных" рангов приведены в нижней строке.

 

Скорректированная таблица рангов факторов

 

Факторы	Эксперты	åаi		()^2
					5 6 7
x1					8 8 5	6) 41,0	2,5	6,25
x2					6,5 6 6	5) 42,5	4,0	16,00
x3					9 10 9	1) 67,0	28,5	812,25
x4			7,5		10 9 8	2) 55,5	17,0	289,00
x5			7,5		6,5 7 7	3) 54,0	15,5	240,25
x6					4 5 10	4) 53,0	14,5	210,25
x7	1,5				2 2 1	10) 10,5	- 28,0	784,00
x8			3,5		4 4 3	7) 27,5	- 11,0	121,00
x9			3,5		43 3	8) 22,5	- 16,0	256,00
x10	1,5				1 1 3	9) 11,5	- 27,0	729,00
å					55 55 55	385,0		А=3464,0
Tj					30 0 24	åTj= 96,0	= 38,5

 

7. Рассчитываем значение коэффициента конкордации для приведенного примера:

 

 

Расчетное значение критерия Пирсона:

 

χ² = 54,74 › χ² _9;0,05 = 16,9.

Критическое значение χ²_кр определяем по рис. Приложения. При числе степеней свободы f = 10 - 1 = 9,0 и уровне значимости 0,05 (5%) на левой шкале критическое χ²_кр = 16,9 - оно меньше расчетного значения критерия, коэффициент конкордации W статистически значим, его величина 0,87 указывает на хорошую степень согласованности мнений экспертов.

8. Строим диаграмму рангов факторов по первому и девятому столбцам таблицы. Эта диаграмма приведена на рис.1. По горизонтали в средней части столбика отмечаем номера факторов: Х₃; Х₄; Х₅ и т.д. до Х₇ от фактора с максимальной суммой баллов к минимальной. По вертикали откладываем значения åа_i. Учитывая то, что максимальная сумма баллов равна 67,0; по вертикальной шкале отмечаем значения от 0 до 70.

Рис.1. Диаграмма рангов факторов

9. Анализируем результаты априорного ранжирования по диаграмме рангов.

Надо выделить две границы между суммами баллов и разделить массив на три группы.

Разница сумм баллов шестого и второго факторов существенна: å а ₆ - å а ₂ = 53,0 – 42,5 = 10,5 балла, её можно принять как первую границу значимости факторов.

Четыре фактора (Х ₃, Х ₄, Х ₅, Х ₆) являются доминирующими, их необходимо обязательно включать в дальнейшее исследование.

Хорошо видно, что наиболее существенное влияние оказывает третий фактор å а ₃ = 67,0 баллов. Существенное влияние оказывают факторы: четвертый – 55,5 балла, пятый - 54,0 балла и шестой – 53,0 балла, разница между суммами их баллов невелика - не более 1,5 балла.

Разница сумм баллов первого и восьмого факторов также существенна: å а ₁ - å а ₈ = 41,0 – 27,5 = 13,5 балла, её можно принять как вторую границу значимости факторов.

Менее значимы факторы второй и первый, их влияние желательно исследовать при наличии средств и времени.

Остальные факторы можно не включать в исследование, так как их влияние на исследуемый процесс наименее существенно – сумма баллов каждого из этих факторов ниже = 38,5.

 

ТЕСТЫ