Оценка достоверности средней арифметической величины

При изучении сплошной (генеральной) совокупности для ее числовой характеристики достаточно рассчитать М и d.

На практике, как правило, мы имеем дело не с генеральной, а с выборочной совокупностью. При определении степени точности выборочного исследования оценивается величина ошибки, которая может произойти в процессе выборки. Такие ошибки носят название ошибок репрезентативности (m) и являются фактической разностью между средними величинами, полученными при выборочном исследовании и аналогичными величинами, которые были бы получены при изучении всей совокупности.

Средняя ошибка средней арифметической (m) определяется по формуле:

т.е. она прямо пропорциональна колеблемости признака и обратно пропорциональна корню квадратному из числа наблюдений. Значит, уменьшить ошибку возможно путем увеличения числа наблюдений.

 

Используя ошибку репрезентативности можно определить доверительные границы средних величин, выход за пределы которых вследствие случайных колебаний имеет незначительную вероятность.

Доверительные границы средней арифметической величины в генеральной совокупности определяют по формуле:

М_ген.= М_выб.± D

где D – предельная ошибка выборки (D = tm). Она зависит от коэффициента t – доверительного коэффициента (критерия точности, Стьюдента), который выбирает сам исследователь. Для большинства медико-биологических и социологических исследований достоверными считаются доверительные границы, установленные с вероятностью безошибочного прогноза P_t =95,5% и более.

При t=2, достоверность P_t=95,5% и риск ошибки p<0,05;

при t=2,6 P_t=99,0%, риск ошибки p<0,01;

при t=3 P_t=99,7%, риск ошибки p<0,003;

при t=3,3 P_t=99,9%, риск ошибки p<0,001.

Достоверность разности средних величин.

В медицинской практике часто приходится иметь дело не с одной, а с двумя средними: надо сравнивать среднюю длительность пребывания больных в 2-х стационарах или за отчетный год и предыдущий, исследуемую группу и контрольную и т.д. Во всех случаях при сопоставлении двух сравниваемых величин возникает необходимость не только определить их разность, но и оценить ее достоверность, т.е. можно ли вывод о разности средних величин, полученный при выборочном исследовании, перенести на соответствующую генеральную совокупность.

Достоверность разницы между двумя средними величинами измеряется доверительным коэффициентом (критерием Стьюдента t):

где М₁ и М₂- две средние арифметические величины, полученные в двух самостоятельных независимых группах наблюдений; m₁ и m₂ - их средние ошибки; t-доверительный коэффициент для разности средних.

При t ³2 разность средних арифметических может быть признана существенной и не случайной, т.е. достоверной. Это значит, что и в генеральной совокупности средние величины отличаются, и при повторении подобных наблюдений будут получены аналогичные различия. Надежность такого вывода будет не меньше 95,5%. С увеличением t степень надежности также увеличивается, а риск ошибки (p) уменьшается. При t < 2 достоверность разности средних величин считается недоказанной.

 

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ

 

На основе приведенных в таблице данных:

1. определите моду (Мо) и медиану (Ме);

2. вычислите взвешенную среднюю арифметическую (М), среднее квадратическое отклонение (d), коэффициент вариации (С_v), ошибку репрезентативности (m) и определите доверительные границы средней с вероятностью безошибочного прогноза P=95,5% и при P=99,7%;

3. используя полученные результаты, сделайте соответствующие выводы.

 

При взвешивании мальчиков 9 лет получены следующие данные:

 

Вес мальчиков в кг. (V)	Число мальчиков, имеющих соответствующий вес (P)
	n=86

Образец выполнения задания

 

V	P	V P	d =V – М	d^2	d^2 P
			-4
			-3
			-2
			-1
		SVP=2161			Sd^2P=341

 

Средняя арифметическая (M)

»25кг

Мо = 25 кг Ме = 25 кг

 

Это абстрактная величина, за ней не видны колебания веса мальчиков в ряду, сумма отклонения всех вариант от средней арифметической = 0.

В строго симметричном ряду она занимает срединное положение, в нашем случае средняя арифметическая совпадает с модой и медианой, значит ряд строго симметричный.

 

2. Среднее квадратическое отклонение (d)

кг

Средний вес мальчиков с учетом сигмальных отклонений

 

М	d	<М–2d	М±2d	>М+2d	общее число подростков (n)
		<21,1	21,1-29,1	>29,1
25,1	± 2 кг

86 – 100%

83 – X

 

В нормальном ряду распределения в пределах М±2d должно быть не менее 95,5% вариант вариационного ряда. В нашем случае 96,5% мальчиков находятся в этих пределах. Только 3 мальчика имеют вес ниже 21,1 кг и ни одного нет с весом больше 29,1 кг. Следовательно, средний вес мальчиков 25,1 кг является типичным, и ряд соответствует ряду с нормальным распределением признака.

 

3. Коэффициент вариации (C_v)

 

C_v является относительной мерой разнообразия. Полученный коэффициент вариации (С_v) меньше 10%, следовательно, можно считать, что степень колеблемости веса мальчиков 9-летнего возраста слабая.