Геометрическое представление колебаний.

 

Для более наглядного представления различного рода движений, в том числе и гармонических, применяются графические способы их описания. Среди этих способов мы рассмотрим только самые распространённые.

а) Временные диаграммы

 

 

Наиболее широко применяемыми и известными являются временные (плоские) диаграммы, на которых в зависимости от времени представляются параметры движения, например, смещение, скорость и ускорение. Если материальная точка совершает движение по гармоническому закону , то скорость её в произвольный момент времени выражается соотношением , а ускорение, соответственно, . Временные диаграммы этих параметров отражены на рис.95-97. На рис.98 в произвольном масштабе одновременно представлены все три характеристики движения.

б) векторные диаграммы

Часто употребляемыми являются также так называемые векторные диаграммы. Они широко применяются при изучении гармонических колебаний, при изучении сложения колебаний и т.д. Любое гармоническое колебание можно представить следующим образом. Пусть начало некоторого вектора совпадает с началом координат (рис. 99), а сам он вращается вокруг начала координат с угловой скоростью, численно равной циклической частоте колебаний. Как видно из рисунка, в любой момент времени проекции вектора на оси координат численно равны и

Масштаб можно выбрать таким, что длина вектора будет численно равна амплитуде колебаний. Если же начальное угловое отклонение выбрать численно равным начальной фазе колебаний, то, как легко убедиться, в любой момент времени проекции вектора на оси координат будут изменяться по гармоническому закону, т.е. гармоническое колебание можно представить проекцией вектора, равномерно вращающегося относительно начала координат, на любую из осей. Скорость колеблющегося тела при этом равна , а ускорение . Следовательно, в определённом масштабе для определения скорости и ускорения тела в любой момент времени можно находить проекции векторов, смещённых относительно первого вектора соответственно на и , длины которых равны амплитудным значениям скорости и ускорения.

Весьма наглядным является сложение гармонических колебаний, представляемое с помощью векторных диаграмм.

в)Спектральное представление колебаний

 

В ряде случаев для характеристики колебаний, особенно негармонических, достаточно знать только такую интегральную характеристику, как энергию (или амплитуду), соответствующие заданной частоте. Это имеет место, например, при изучении колебаний систем с несколькими степенями свободы, периодических, но негармонических колебаний, импульсных процессов и т.д.

В таких случаях на графиках зависимости амплитуды или энергии, пропорциональной амплитуде колебаний, от частоты для соответствующих частот откладываются отрезки, в определенном масштабе равные амплитуде (энергии) колебаний. Спектральная характеристика гармонического колебания частоты w₀ представлена на рис. 101.

г) Фазовое представление колебаний

При фазовом представлении колебаний состояние колеблющейся системы описывается в фазовой плоскости. Фазовой плоскостью называют плоскость, координаты точек которой определяют состояние колеблющейся системы с одной степенью свободы. По осям координат откладываются значения координат и скоростей механической системы. При гармонических колебаниях вместо скорости (или импульса) откладывается обычно отношение скорости тела к циклической частоте колебаний.

Рассмотрим фазовые представления некоторых частных случаев движения. На рис. 102 представлено равномерное прямолинейное движение

Если же скорость с течением времени изменяется, то фазовая траектория не будет представлять собой прямую линию. Так, если тело совершает равнозамедленное движение с начальной скоростью из начала координат, то закон изменения его скорости записывается в виде , а закон движения - в форме . Исключая из этих зависимостей время, получаем уравнение движения в фазовой плоскости . Этому уравнению соответствует парабола, представленная на рис.103.

При гармонических колебаниях закон движения тела можно записать в виде . Скорость его при этом для произвольного момента времени имеет вид . Исключая время, получим уравнение фазовой траектории

, которая представлена на рис.104.

 

 

Этими основными видами геометрического представления колебаний и будем пользоваться в дальнейшем.