Давление покоящейся жидкости.

Выделим в объеме покоящейся жидкости небольшой объем (рис. 68), пусть на грань этого объема действует со стороны окружающих слоев сила давления F.

Из опыта известно, что трение покоя в жидкостях отсутствует, т.е. должны от­сутствовать касательные усилия к выделен­ной грани.

Средним давлением называют величину:

где dF сила давления, действующая на площадку площади dS.

Истинным давлением или давлением в точке называют величину:

В покоящейся жидкости давление в точке не зависит от ориентировки площадки, на ко­торую оно действует, действительно, в покоящейся: жидкости выделим небольшой объем, фор­ма которого показана на рис. 69. На каждую грань объема действует силы давления, поскольку объем покоится, в каждом из координатных направлений сумма сил равна нулю:

 

 

Аналогично можно показать, что:

 

УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИКИ ЭЙЛЕРА

В покоящейся жидкости выделим малый ее объем dV=dxdydz в фор­ме прямоугольного параллелепипеда (рис. 70).

Известно давление в центре объема p и изменение давления на единицу длины в каждом из координат­ных направлений:

 

 

На каждую грань объема действуют силы давления, а на весь объем - объемные (массовые) силы, например, сила тяжести. Поскольку объем покоится, сумма проекции всех сил по каждому из координатных направлений равна нулю.

На заднюю грань действует сила давления:

а на переднюю:

Кроме того, в этом направлении действует составляющая мас­совой силы dq, которую можно определить по второму закону Ньютона:

где: r - плотность среды, a_x- ускорение, которое способна сообщить массовая сила. Т. к. объем покоится,

Поскольку :

Аналогично для других координатных направлений:

и представляют собой систему уравне­ний гидростатики Эйлера.

УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ

Поверхностью уровня называют такую поверхность, во всех точках которой давление одинаково (dP=0)

то, с учетом уравнение Эйлера:

для поверхности уровня:

В случае идеальной жидкости:

Пример, Пусть жидкость покоится в поле тяготения 3емли.

Плоскость 0XY горизонтальна, а ось z направлена вертикально вверх. В этом случае:

Тогда:

т.е. z=const, т.о. поверхности уровня (в частности, свободная поверхность) горизонтальны.

 

ЗАКОН ПАСКАЛЯ

Жидкость покоится в поле тяготения Земли. В этом случае уравнения Эйлера имеют вид:

С учетом и последнее уравнение принимает вид:

откуда:

где удельный вес жидкости. Интегрируя, получаем

Постоянная интегрирования будет определена, если в точке с координатой z₀ известно давление p₀. Тогда

 

Последнее выражение обычно записывают в виде:

т.е. для жидкости, покоящейся в поле тяготения Земли, сумма геометрической (Z) и пьезометрической (p/g)) высот для всех точек объема жидкости одинакова. Это и есть закон Паскаля.

 

СООБЩАЮЩИЕСЯ СОСУДЫ ЗАПОЛНЕНЫ ОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Свободные поверхности в левом и правом коленах находятся на уровнях Z₁ и Z₂, а давление на этих поверхностях равно атмосферному Р_a. Сравним свободные поверхности с общей для обоих сосудов частью, уровнем Z₀, на котором давление равно P₀, как показано на рис. 71.

Откуда:

 

Следовательно, свободные поверхности устанавливаются на одном уровне.

СООБЩАЮЩИЕСЯ СОСУДЫ ЗАПОЛНЕННЫЕ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТЬЮ

 

Положим, что сосуды заполнены неоднородной жидкостью (несмешивающимися жидкостями с удельными весами g₁ и g₂. Через границу разде­ла жидкостей проводим уровень Z₀ =0, на котором давление равно Р₀ (рис. 72).

Сравним свободную поверхность в левом сосуде с границей раздела со стороны жидкости с удельным ве­сом g₁:

для правого сосуда аналогично:

Сравнивая записанные выражения, получим, что свободные поверхности в сосудах устанавливаются на уровнях, обратно пропорциональных удельным весам жидкостей:

 

ЗАКОН АРХИМЕДА

Тело погружено в жидкость (рис. 73).

На его поверхность со стороны жидкости действуют силы давления, выделим в теле объем малого сечения, ось которого вертикальна. На верхнюю и ниж­нюю грани этого объема действу­ют силы давления:

Равнодействующая сил давле­ния в проекции на вертикальную ось равна:

где: dS - проекция dS₁ (или dS₂) на горизонтальную плоскость. Разность давлений по закону Паскаля равна

где: dZ - разность уровней центров граней выделенного объема. Тогда равнодействующая сил давления равна

где dV - величина выделенного объема.

Вертикальная проекция сил давления, действующих на всю смоченную поверхность тела, может быть получена путем интегри­рования предыдущего выражения:

т.е. сила, действующая со стороны жидкости на погруженное в нее тело по величине равна весу жидкости, вытесненной телом.

Формулировка закона: на тело, погруженное в жидкость действует выталкивающая сила, равная весу жидкости в объеме, вытесненном телом, и приложенная в той точке смоченной поверхности тела, в которой вертикаль, проведенная через центр масс вытесненной жидкости, пересекает эту поверхность.

Существенным в формулировке закона Архимеда является правильное указание точки приложения выталкивающей силы