Релятивистское уравнение движения.

Релятивистское уравнение движения по внешнему виду совпадает с записью основного закона динамики Ньютона в общей формулировке:

 

Релятивистское уравнение динамики удовлетворяет преобразованиям Лоренца и, следовательно, общефизическому принципу относительности. Важно отметить, что в отличие от классического закона динамики в релятивистском случае сила и ускорение могут не совпадать по направлению:

 

 

Лишь в двух случаях, когда сила нормальна к вектору скорости или сонаправлена с ним, ускорение и сила по направление совпадают.

Силы инерции.

Как уже отмечалось, существуют такие системы отсчета, в которых ускорение тел вызывается не только действием сил, но и самим движением системы отсчета.

Рассмотрим поведение свободного тела, находящегося в покое относительно неподвижной системы. В этой системе выполняются законы Ньютона: равнодействующая приложенных к телу сил равна нулю и тело, как следствие, находится в покое. Если же другая система отсчета движется относительно первой с ускорением a, то в подвижной системе тело получает ускорение - а, равное по величине ускорению системы и противоположно ему направленное. Следовательно, в подвижной системе законы Ньютона не выполняются: равнодействующая приложенных сил равна нулю, а тело приобретает ускорение.

Чтобы и в таких системах выполнялись законы Ньютона, приходится вводить дополнительные фиктивные силы, называемые силами инерции. В рассмотренном примере в подвижной системе вводится сила инерции:

 

объясняющая появление ускорения тепа в подвижной системе отсчета. Т.е. сила инерции равна произведению массы тела на ускорение системы и противоположно ему направлена.

Если связать систему отсчета с ускоренно движущимся телом, то геометрическая сумма всех сил, приложенных к телу, включая силу инерции, равна нулю (принцип Даламбера)

Силы инерции во вращающихся системах отсчета.

Во вращающихся системах отсчета возникающие силы инерции зависят не только от движения системы, но и от характера движения тела относительно нее. Положим, что тело покоится во вращающейся системе и вращается вместе с ней. Для неподвижного наблюдателя тело движется по окружности, следовательно, на него действует реальная центростремительная сила. Во вращающейся системе тело покоится, хотя на него и действует указанная сила. Для выполнения законов динамики приходится ввести фиктивную силу, уравновешивающую центростремительную.

Такую силу называют центробежной силой.

Силы инерции Кориолиса.

Пусть система вращается равномерно с угловой скоростью ω. Вдоль радиуса системы равномерно со скоростью v движется тело (рис. 36).

Абсолютный импульс тела определяется относительным и переносным движением

 

Со временем будут изменяться обе составляющие абсолютного импульса. Рассмотрим сначала изменение относительного импульса.

Поскольку тело движется равномерно относительно подвижной системы, будет изменяться только направление импульса. За промежуток времени система (и ее радиус) поворачивается на угол Dj = wDt (рис. 37).

При малых углах поворота вращение относительного импульса равно:

 

Направлено это изменение в сторону вращения перпендикулярно к радиусу. Переносный импульс направлен все время в сторону вращения перпендикулярно к радиусу, величина его, пропорциональная линейной скорости вращения системы, зависит от удаления от центра вращения (рис.38)

Изменение величины переносного импульса за время dt равно

полное изменение импульса тела равно

С другой стороны, из основного закона динамики следует:

где F - равнодействующая приложенных к телу сил.

Таким образом, наблюдаемые изменения импульса вызываются внешними силами, равными по величине: F=2mnw

Учитывая направления (рис. 39) векторов в векторном виде можно записать

 

Для рассмотренного случая движения на рис.40 представим все действующие на тело силы. Пусть стержень вращается равномерно в горизонтальной плоскости, вдоль него равномерно движется небольшая муфточка. Относительно неподвижного наблюдателя на тело должны действовать следующие силы (отмеченные на рисунке сплошными линиями). Т.к. тело движется в горизонтальной плоскости, сила тяжести уравновешена реакцией стержня. Поскольку траектория тела криволинейная, на него должна действовать центростремительная сила, обеспечивающая нормальное ускорение. Наконец, на тело действует рассмотренная выше сила, приложенная со стороны стержня.

В системе, связанной с вращающимся стержнем, тело движется равномерно и прямолинейно, т.е. сумма приложенных к нему сил должна быть равной нулю. Как видно из рисунка, в горизонтальной плоскости силы не уравновешены, поэтому необходимо для выполнения законов динамики ввести силы инерции (на рисунке показаны пунктиром). Вдоль стержня действует центробежная сила инерции, уравновешивающая центростремительную силу.

 

Силу уравновешивает сила инерции Кориолиса:

Как видно из, сила Кориолиса возникает во вращающейся системе отсчета при относительном движении тел.

Силы трения. Сухое трение.

Сухим (внешним) трением называют силы сопротивления движению, возникающие при относительном движении одного твердого тела по поверхности другого. Силы сопротивления движению определяются наличием микро- и макронеровностей поверхностей трущихся тел и взаимодействием между ними. При скольжении одной твердой поверхности по другой в плоскости соприкосновения тел возникают силы, направленные противоположно относительной скорости. Эти силы и называют силами трения скольжения.

Коэффициент трения скольжения k является безразмерной величиной и определяется природой и состоянием поверхностей трущихся тел.

Кроме закона Кулона опытным путем установлен ряд закономерностей для трения скольжения среди которых наиболее часто употребляются следующие:

1. При попытке сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости контакта возникают силы, сопротивления, изменяющиеся от нуля до предельного значения, называемого силой трения покоя.

2. С увеличением относительной скорости трущихся тел силы - трения сначала убывает, а затем начинают возрастать.

3. Силы трения тем меньше, чем тверже трущиеся поверхности.

Силы трения качения.

Трение качения возникает при качении одного твердого тела по поверхности другого. При попытке сдвинуть тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения возникает

сила препятствующая этому.

 

Сопротивление качению может возникать в том случае, если нормальная реакция смещается относительно вертикального диаметра катка в сторону движения. Это происходит в том случае, если давление катка на поверхность будет не в точке, а по участку поверхности, а интенсивность давления будет больше впереди вертикального диаметра катка, как показано на рис. 44.

Следовательно, поверхность должна деформироваться, причем деформации будут несимметричными относительно вертикального диаметра.

Положим, что сила вызывает равномерное качение катка, т.е.

Здесь (коэффициент трения качения) является размерной величиной. Смысл его- ''плечо'' нормальной составляющей реакции поверхности.

Вязкое трение

Вязкое трение возникает при относительном движении слоёв жидкости или газа. Основные законы вязкого трения получены опытным путём.

Ньютон установил, что если под действием силы площадка площади движется равномерно со скоростью относительно площадки ,

На подвижную площадку действуют силы сопротивления движению (силы вязкого трения):

где - расстояние между площадками (слоями), - коэффициент вязкого трения определяемая свойствами вязкой среды, заполняющей промежуток между площадками.

При движении тел в вязкой среде на них действуют силы сопротивления движению.

Стокс получил выражение для этих сил. При малых скоростях.

где: - стоксова сила сопративления, - плотность среды, - скорость тела, -коэффициент, определяемый геометрией тела, - площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения.

 

Движение тел в сопротивляющейся среде.

При достаточно больших скоростях тел (или если форма тела является плохо обтекаемой) силы Стокса становятся пропорциональны квадрату скорсти:

Положим, что тело начинает падать под действием силы тяжести в сопротивляющейся среде. Пренебрегая силой Архимеда, запишем:

С течением времени скорость тела возрастает, возрастает и сила Стокса. Наконец, силы тяжести и Стокса уравновешиваются, после чего начинается равномерное движение тела с установившейся скоростью . Определим зависимость скорости от проходимого телом пути и значение установившейся скорости.

Обозначим:

Или

Интегрируя, получим:

Константу интегрирования находим из начальных условий (x=0 и =0):

Подставив (197) в (196) получим: или

Через достаточно большой промежуток времени () скорость тела перестаёт изменяться. Следовательно, значение установившейся скорости равно .

 

Упругие силы.

Упругостью называют свойство восстанавливать времменно утраченную форму и объём, а деформациями- само изменение формы и объёма тела. Причиной упругости является наличие одновременно присутствующих сил взаимодействия между частицами тела- притяжения () и отталкивания (). Равнодействующая этих сил равна:

На рис.46 представлены графики силы взаимного отталкивания (1), притяжения (2) и равнодействующая этих сил (3). На расстоянии между взаимодействующими частицами равнодействующая равна нулю (положение равновесия). При < преобладают силы отталкивания, а при > силы притяжения.

Потенциальная энергия взаимодействия на расстоянии между частицами:

где: .

,

Графики потенциальной энергии сил отталкивания (1), притяжения (2) и равнодействующей (3) представлены на рис.47: